andi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Gerhard Kemme schrieb am 17.08.2007 15:53 Uhr:
Bei der ?berpr?fung kann man nicht immer sofort mit der abstraktesten Form anfangen, sondern muss von den grundlegenden Zusammenh?ngen ausgehen. Diese werden in der kartesischen Darstellung z.B. als
x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
angegeben. |
Das kann man nicht nur, das ist in der Mathematik sogar so ?blich. Denn wenn man die allgemeinste Form verwendet, erh?lt man auch die allgemeinsten Aussagen. Im ?brigen ist das, was sie da hinschreiben keine LT, sondern die Wirkung einer LT (Boost in x-Richtung) auf die x-Komponente eines Vierer-Vektors.
Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 17.08.2007 15:53 Uhr:
Dies w?re ein Element der LT, welches viele Fragen offen l?sst, z.B.
Wodurch unterscheiden sich die Elemente? Nur durch unterschiedliche Geschwindigkeiten v. Dann wiederum w?re die Frage, wann Geschwindigkeiten als Unterschiedlich angesehen werden, z.B. wenn sie sich auf der 1000. Nachkommastelle unterscheiden? Wenn die eine Geschwindigkeitsangabe v=1 ist und die andere v=3/3 handelt es sich dann auch um andere Elemente.
Wie soll die angesprochene Hintereinanderausf?hrung aussehen, da die Elemente Funktionsgleichungen sind? Beispiel: f=2(x) und g=3x+5, dann fog=3(2x)+5
Meint man bei Hintereinanderausf?hrung also etwas, was auf die Funktionen bezogen wird oder etwas was auf den Vorgang der Transformation bezogen wird. |
Nochmal: die Lorentzgruppe l?sst sich darstellen, durch die Menge der 4x4-Matrizen, die das Pseudoskalarprodukt des Minkowski-Raumes erhalten. Was in der Physik meistens betrachtet wird, ist die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe, die aus Boosts entlang der Koordinatenachsen und Drehungen um die Koordinatenachsen besteht. Jedes Element der eigentlichen orthchronen Lorentzgruppe wird durch 6 Parameter festgelegt, die Geschwindigkeiten der Boosts und die Drehwinkel. Zwei LT sind dann verschieden, wenn sie sich in mindestens einem dieser Parameter unterscheiden.
Die Hintereinanderausf?hrung ist in der Matrixdarstellung einfach das Matrizenprodukt.
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17.08.2007 20:41 |
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andi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 17.08.2007 16:01 Uhr:
Auf einer v?llig abstrakten Ebene kann man absolut nichts belegen.
Da geht es um die Anerkennung, dass ein Zahlenstrahl die Eigenschaft Transitivit?t aufweisen muss. Was bei Messungen aus einem bewegten System schon nicht mehr so einfach ist.
Wenn jemand die Aufgabe stellt, welche M?chtigkeit die folgende Menge habe: {1;4/4}, dann wird man hier?ber sprechen m?ssen. D.h. erstmal wirklich die Elemente der LT wirklich explizit benennen. Wer dann eine Matrix anf?hrt, wird auf die Gleichungen zur?ckgehen m?ssen.
MfG Gerhard Kemme |
Wie w?re es, wenn wir uns mal auf eine Defintion des Begriffes "Relation" einigen, dann kann man n?mlich auch festlegen, was alles keine Relation ist und damit nicht transitiv sein kann. Also ich kenne folgende Defnition:
Seien A,B Mengen, dann ist eine bin?re Relation R eine Teilmenge der kartesischen Produktmenge A x B.
Damit ist der Zahlenstrahl keine Relation und kann auch nicht transitiv sein...
Die LT sind als (lineare) Abbildungen zwischen 4-dimensionalen Vektorr?umen definiert. Und wie wir alle aus LA1 wissen, sind solche linearen Abbildungen zwischen 4-dimensionalen VR isomorph zu den 4x4-Matrizen. Das was sie da immer als LT verkaufen wollen, also
x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
ist, wie ich bereits schrieb, keine LT, sondern die Wirkung einer LT auf die x-Komponente des Vierer-Vektors.
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17.08.2007 20:47 |
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Wolfi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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So sehe ich das auch. Was soll ?berhaupt daran abstrakt sein Lorentztransformationen (=lineare Abbildungen) als Matrizen darzustellen. Das ist in der linearen Algebra so ?blich und es ist nichts falsch daran.
Nun, da die Lorentztransformationen per Definition die Metrik des Minkowskiraumes erhalten, bedeutet das, dass jede LT eine regul?re Matrix ist, und somit invertierbar. Somit besitzt jede LT ein inverses Element, was eine der Eigenschaften von Gruppen ist.
Ferner existiert ein neutrales Element, n?mlich die Einheitsmatrix.
Die Assoziativit?t ist leicht einzusehen, da es sich bei der Verkn?pfung von LT um Matrizenmultiplikationen handelt. Dass diese assoziativ sind, ist wohl allgemein bekannt.
Die wichtigste Eigenschaft, die nachzuweisen ist, ist die Abgeschlossenheit. Ich habe zwar einen Beweis, tue mir aber schwer damit, ihn ins Forum zu stellen, da es hier keine mathematischen Symbole gibt. Vielleicht kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich das bewerkstellen k?nnte? Ich werds aber versuchen, demn?chst reinzustellen.
LG Wolfi
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18.08.2007 00:03 |
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Wolfi
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18.08.2007 00:29 |
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andi
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18.08.2007 00:39 |
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Wolfi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Ich versuch mal einfach so ohne die Indexschreibweise. Es geht also um die Vollst?ndigkeit. Zu zeigen ist also, dass die Verkn?pfung zweier Lorentztransformationen wieder eine Lorentztransformation ist. Oder: Falls die Matrizen M und N Lorentztransformationen sind, dann ist auch L=M.N eine LT.
Nun, wenn M und N Lorentztransformationen sind, sind sie auf jeden Fall beide regul?r und somit auch deren Verkn?pfung (Matrixprodukt L=M.N). Das bedeutet, dass auch L ein inverses Element besitzt.
Die Assoziativit?t von L ist evident, da es sich wieder um Matrizen handelt.
Was uns eigentlich interessiert, ist ob L die Metrik invariant l?sst. Wir betrachten den kontravarianten metrischen Tensor G. Wie wirkt eine Lorentztransformation auf G? G transformiert sich unter einer LT: G'=M.G.MT=G (da die metrik ja invariant sein muss)
Dasselbe soll nun auch f?r N gelten: N.G.NT=G
Zu zeigen ist nun, dass derselbe Ausdruck auch f?r das Produkt M.N gilt:
L.G.LT=(einfach L=M.N einsetzen)=M.N.G.NT.MT=(ist wahr da N.G.NT=G ist)=M.G.MT=G
Das bedeutet also, dass wenn die Matrizen M und N metrik-erhaltend sind, dass dies dann automatisch auch f?r das Produkt gilt.
Und das wars auch schon! Die LT sind vollst?ndig und bilden somit eine Gruppe!
MT und NT bedeuten M bzw N transponiert.
Falls etwas unklar ist, oder mir irgendwo ein Fehler unterlaufen ist, bitte bescheid sagen!
LG Wolfi
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18.08.2007 01:22 |
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andi
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18.08.2007 02:19 |
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Guten Tag!
Zitat: |
andi schrieb am 17.08.2007 19:47 Uhr:
Damit ist der Zahlenstrahl keine Relation und kann auch nicht transitiv sein... |
Wenn auf einem Zahlenstrahl drei Objekte A, B, C mit den Abst?nden (Koordinaten) a, b, c vorhanden sind, dann l??t sich eine Ordnungsrelation "<" anwenden, welche die Eigenschaft der Transitivit?t besitzt: a<b und b<c ==> a<c
Da es um solche Abstandsmessungen geht, spielt die Eigenschaft "Transitivit?t" durchaus eine Rolle bei der Beurteilung, ob es sich bei den LT um Elemente einer Menge handelt.
Wobei - wie gesagt - bei Messungen z.B. mit Radarstrahl von einem bewegten System aus, durchaus sein kann, dass a<b und b<c aber c<a wird.
Zitat: |
andi schrieb am 17.08.2007 19:47 Uhr:
Die LT sind als (lineare) Abbildungen zwischen 4-dimensionalen Vektorr?umen definiert. Und wie wir alle aus LA1 wissen, sind solche linearen Abbildungen zwischen 4-dimensionalen VR isomorph zu den 4x4-Matrizen. Das was sie da immer als LT verkaufen wollen, also
x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
ist, wie ich bereits schrieb, keine LT, sondern die Wirkung einer LT auf die x-Komponente des Vierer-Vektors. |
Die Zellen der Matrix enthalten Funktionsgleichungen. Wie du sie bezeichnest ist egal. Eine Matrix mit dem Zelleninhalt Unsinn, stellt kein Element einer Menge dar, insofern wirst du nicht umhin kommen von den Matrixen auf die Inhalte der Zellen zur?ckzugehen.
Meiner Ansicht nach haben Lorentz und auch A.Einstein keine Matrix-Schreibweise benutzt. Wie bereits gesagt handelt es sich hier um keinen puren mathematischen Formalismus, sondern um Theoretische Physik. Da muss beides stimmen die Physik und auch die Mathematik.
Fazit: Allerdings bin ich nicht der Ansicht, dass hier ein Konsens erzielt werden kann. Letzten Endes wird sich zeigen, dass bei Nachweis eines Fehlers der RT sofort eine Darstellung auf abstrakterer Ebene erfolgt.
MfG Gerhard Kemme
__________________ "Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191
Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 18.08.2007 21:29.
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18.08.2007 21:26 |
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andi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 20:26 Uhr:
Guten Tag!
Wenn auf einem Zahlenstrahl drei Objekte A, B, C mit den Abst?nden (Koordinaten) a, b, c vorhanden sind, dann l??t sich eine Ordnungsrelation "<" anwenden, welche die Eigenschaft der Transitivit?t besitzt: a<b und b<c ==> a<c
Da es um solche Abstandsmessungen geht, spielt die Eigenschaft "Transitivit?t" durchaus eine Rolle bei der Beurteilung, ob es sich bei den LT um Elemente einer Menge handelt.
Wobei - wie gesagt - bei Messungen z.B. mit Radarstrahl von einem bewegten System aus, durchaus sein kann, dass a<b und b<c aber c<a wird. |
Ja "<" ist eine Relation auf der Menge der Zahlen. Aber das hat immer noch nichts mit der Gruppeneigenschaft zu tun...
Ihre letzte Behauptung ist ?brigens falsch. Sie m?ssen bei einer Messung schon im selben IS bleiben, dann klappt das auch.
Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 20:26 Uhr:
Die Zellen der Matrix enthalten Funktionsgleichungen. Wie du sie bezeichnest ist egal. Eine Matrix mit dem Zelleninhalt Unsinn, stellt kein Element einer Menge dar, insofern wirst du nicht umhin kommen von den Matrixen auf die Inhalte der Zellen zur?ckzugehen.
Meiner Ansicht nach haben Lorentz und auch A.Einstein keine Matrix-Schreibweise benutzt. Wie bereits gesagt handelt es sich hier um keinen puren mathematischen Formalismus, sondern um Theoretische Physik. Da muss beides stimmen die Physik und auch die Mathematik.
Fazit: Allerdings bin ich nicht der Ansicht, dass hier ein Konsens erzielt werden kann. Letzten Endes wird sich zeigen, dass bei Nachweis eines Fehlers der RT sofort eine Darstellung auf abstrakterer Ebene erfolgt. |
Was ist eine "Funktionsgleichung"? Also Gleichungen enthalten die Matrizen schonmal keine. Was haben sie immer mit dem Unsinn. Ich habe doch bereits (mehere) konsitente Defintionen der LT angegeben. Die sind ergo kein Unsinn.
In der Tat wird hier kein Konsens erzielt werden. Was aber in nicht geringem Ma?e an ihrem seltsamen Mathematikverst?ndis liegt.
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18.08.2007 21:36 |
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Guten Abend!
Zitat: |
Wolfi schrieb am 18.08.2007 00:22 Uhr:
Ich versuch mal einfach so ohne die Indexschreibweise. Es geht also um die Vollst?ndigkeit. Zu zeigen ist also, dass die Verkn?pfung zweier Lorentztransformationen wieder eine Lorentztransformation ist. Oder: Falls die Matrizen M und N Lorentztransformationen sind, dann ist auch L=M.N eine LT. |
Wie bereits oft gesagt, geht es nicht um das abschreibbare Lehrbuch"wissen", sondern um ?berlegungen im Vorfeld eines nur noch formalen Abpr?fens der Gruppeneigenschaft von LT, die in Matrixenschreibweise dargestellt werden.
Grundfrage w?re hier, ob die Zelleninhalte von Matrixen absoluten Unsinn enthalten d?rfen, wenn sie als Elemente einer Menge gelten sollen.
Das Physikalische und das Mathematische kann nicht einfach getrennt werden, d.h. mache ich einen Rechenfehler, dann wird das Physikalische unklar - dies gilt aber auch umgekehrt. Insofern gehe ich davon aus, dass im Einzelnen auch z.B. die Funktionsgleichungen f?r x' und t' ?berpr?ft werden m?ssen, d.h. man muss die Verkn?pfung mit der sie im Rahmen der Matrixen-Verkn?pfung miteinander verbunden werden, dann wieder erstmal auf Gruppeneigenschaften ?berpr?fen, z.B. wenn zwei 3-Tupel mit der Verkn?pfung /+/ addiert werden: (a,b,c)/+/(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f), dann muss nicht nur die Verkn?pfung "/+/" gelten, sondern auch die Addition "+".
Fazit: Die Funktionsgleichungen sind explizit miteinander zu verkn?pfen.
MfG Gerhard Kemme
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Nach Georg Cantor (1845 - 191
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18.08.2007 21:53 |
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Guten Abend!
Zitat: |
andi schrieb am 17.08.2007 19:41 Uhr:
Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 17.08.2007 15:53 Uhr:
Bei der ?berpr?fung kann man nicht immer sofort mit der abstraktesten Form anfangen, sondern muss von den grundlegenden Zusammenh?ngen ausgehen. Diese werden in der kartesischen Darstellung z.B. als
x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
angegeben. |
Das kann man nicht nur, das ist in der Mathematik sogar so ?blich. Denn wenn man die allgemeinste Form verwendet, erh?lt man auch die allgemeinsten Aussagen. Im ?brigen ist das, was sie da hinschreiben keine LT, sondern die Wirkung einer LT (Boost in x-Richtung) auf die x-Komponente eines Vierer-Vektors.
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Es stellt einen gro?en Unterschied dar, ob man in der Gruppe Gleichgesinnter einen "Beweis" vornimmt, oder ob - wie hier - grundlegend ?ber Wahr oder Nichtwahr debattiert wird. Das Abstrakte muss "geerdet" sein, sonst wird das schnell ein Phantasiegebilde. Wenn Matrixen miteinander verkn?pft werden, so beinhaltet dies, dass auch eine Verkn?pfung der Komponenten erfolgt. Dies ist nicht allgemeine Mathematik, sondern Theoretische Physik, d.h. es geht auch darum Sinnvolle Resultate von Denkvorg?ngen zu erzielen. Somit muss alles auf den Pr?fstand, was als Funktionsgleichungen dann vorhanden ist. Was Lorentztransformationen sind wurde durch Lorentz und A.Einstein ausgedr?ckt - meiner Ansicht nach wurden durch A.E. keine Matrixen benutzt.
Zitat: |
andi schrieb am 17.08.2007 19:41 Uhr:
Nochmal: die Lorentzgruppe l?sst sich darstellen, durch die Menge der 4x4-Matrizen, die das Pseudoskalarprodukt des Minkowski-Raumes erhalten. |
Ist das von Lorentz und A.E.?
Zitat: |
andi schrieb am 17.08.2007 19:41 Uhr:
Zwei LT sind dann verschieden, wenn sie sich in mindestens einem dieser Parameter unterscheiden.
Die Hintereinanderausf?hrung ist in der Matrixdarstellung einfach das Matrizenprodukt. |
Wann unterscheiden sich die Parameter "v", z.B. bei 1000 Nachkommastellen oder 1m/s bzw. 3/3 m/s?
MfG Gerhard Kemme
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18.08.2007 22:11 |
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andi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 20:53 Uhr:
Wie bereits oft gesagt, geht es nicht um das abschreibbare Lehrbuch"wissen", sondern um ?berlegungen im Vorfeld eines nur noch formalen Abpr?fens der Gruppeneigenschaft von LT, die in Matrixenschreibweise dargestellt werden.
Grundfrage w?re hier, ob die Zelleninhalte von Matrixen absoluten Unsinn enthalten d?rfen, wenn sie als Elemente einer Menge gelten sollen.
Das Physikalische und das Mathematische kann nicht einfach getrennt werden, d.h. mache ich einen Rechenfehler, dann wird das Physikalische unklar - dies gilt aber auch umgekehrt. Insofern gehe ich davon aus, dass im Einzelnen auch z.B. die Funktionsgleichungen f?r x' und t' ?berpr?ft werden m?ssen, d.h. man muss die Verkn?pfung mit der sie im Rahmen der Matrixen-Verkn?pfung miteinander verbunden werden, dann wieder erstmal auf Gruppeneigenschaften ?berpr?fen, z.B. wenn zwei 3-Tupel mit der Verkn?pfung /+/ addiert werden: (a,b,c)/+/(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f), dann muss nicht nur die Verkn?pfung "/+/" gelten, sondern auch die Addition "+".
Fazit: Die Funktionsgleichungen sind explizit miteinander zu verkn?pfen. |
Nochmal: Die LT sind kein Unsinn. Aber das was sie da so schreiben kommt dem schon erschreckend nahe...
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18.08.2007 22:13 |
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Guten Abend!
Zitat: |
andi schrieb am 18.08.2007 21:13 Uhr:
Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 20:53 Uhr:
Grundfrage w?re hier, ob die Zelleninhalte von Matrixen absoluten Unsinn enthalten d?rfen, wenn sie als Elemente einer Menge gelten sollen. |
Nochmal: Die LT sind kein Unsinn. Aber das was sie da so schreiben kommt dem schon erschreckend nahe...
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Bitte um Lesedisziplin! Es wurde von mir nicht die Behauptung aufgestellt, dass die LT Unsinn seien, sondern es ging um die allgemeine mathematische Fragestellung, ob Mengen als Elemente "Unsinn" enthalten d?rfen, d.h. die Objekte "gr?ner Gedanke" und "kj9sgeteilt durch Vernunft" w?rde ich nicht als Elemente von Mengen ansehen.
Insofern werden wir um die physikalisch-mathematische Kleinarbeit nicht umhin kommen, wenn ernsthaft und ?berzeugend die Gruppeneigenschaft der LT abgecheckt werden soll.
MfG Gerhard Kemme
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18.08.2007 22:25 |
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andi
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18.08.2007 22:33 |
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Guten Abend!
Zitat: |
Wolfi schrieb am 17.08.2007 23:03 Uhr:
So sehe ich das auch. Was soll ?berhaupt daran abstrakt sein Lorentztransformationen (=lineare Abbildungen) als Matrizen darzustellen. Das ist in der linearen Algebra so ?blich und es ist nichts falsch daran. |
Die Darstellung als Matrix entlastet nicht von der ?berpr?fung der Funktionsgleichungen, da die Komponenten miteinander verkn?pft werden m?ssen, d.h. die Gruppeneigenschaften dieser Verkn?pfung m?ssen nunmehr wieder gepr?ft werden.
Zitat: |
Wolfi schrieb am 17.08.2007 23:03 Uhr:
Nun, da die Lorentztransformationen per Definition die Metrik des Minkowskiraumes erhalten, bedeutet das, dass jede LT eine ... |
Ich w?re an dieser Stelle nicht sofort daf?r, den Minkowskiraum zu verwenden, sondern w?rde ohne Matrix-Schreibweise einfach ein ruhendes System nehmen, in welchem sich ein anderes mit der Geschwindigkeit "v" bewegt. Im ruhenden System wird der Abstand zu einem ortsfesten Objekt mit "x" bestimmt. Im bewegten findet eine Abstandsmessung mit einer lichtschnellen Informations?bertragung statt, so dass dort dann der Abstand zum Objekt mit "x'" gemessen wird. Die Errechnung von x' stellt dann die Lorentztransformation bez?glich der x-Achse dar.
Diese Darstellung findet sich durchaus in der Literatur und hat den Vorteil erstmal etwas simpler zu sein.
Ansonsten haben wir es immer mit der Parabel vom Hasen und Igel zu tun, d.h. wenn mit gro?em Aufwand eine Widerlegung erfolgte, mutiert sich die RT auf eine abstraktere Form und die Kritiker fangen wieder von vorne an.
MfG Gerhard Kemme
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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 18.08.2007 22:49.
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18.08.2007 22:48 |
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Wolfi
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18.08.2007 22:54 |
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andi
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18.08.2007 22:58 |
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Wolfi
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18.08.2007 22:59 |
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andi
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18.08.2007 23:02 |
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Wolfi
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Re: GOM-Projekt: Probleme |
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Zitat: |
Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 21:48 Uhr:
Die Darstellung als Matrix entlastet nicht von der ?berpr?fung der Funktionsgleichungen, da die Komponenten miteinander verkn?pft werden m?ssen, d.h. die Gruppeneigenschaften dieser Verkn?pfung m?ssen nunmehr wieder gepr?ft werden. |
Nein, aber der Beweis ist einfacher und ?bersichtlicher und ist selbst f?r Studenten in den ersten Semestern nachvollziehbar. Mein Beweis ist nicht mal ne halbe Seite lang. Wozu kompliziert, wenns auch eleganter geht?
Zitat: |
Ich w?re an dieser Stelle nicht sofort daf?r, den Minkowskiraum zu verwenden, sondern w?rde ohne Matrix-Schreibweise einfach ein ruhendes System nehmen, in welchem sich ein anderes mit der Geschwindigkeit "v" bewegt. Im ruhenden System wird der Abstand zu einem ortsfesten Objekt mit "x" bestimmt. Im bewegten findet eine Abstandsmessung mit einer lichtschnellen Informations?bertragung statt, so dass dort dann der Abstand zum Objekt mit "x'" gemessen wird. Die Errechnung von x' stellt dann die Lorentztransformation bez?glich der x-Achse dar.
Diese Darstellung findet sich durchaus in der Literatur und hat den Vorteil erstmal etwas simpler zu sein. |
Naja die Darstellung ist nicht wirklich einfacher. Au?erdem reicht es nicht, einfach nur die x-Komponente zu betrachten. Es geht immer um "Punkte" bzw Ereignisse in der Raum-Zeit, dh man ben?tigt eine Orts- UND Zeitangabe.
Zitat: |
Ansonsten haben wir es immer mit der Parabel vom Hasen und Igel zu tun, d.h. wenn mit gro?em Aufwand eine Widerlegung erfolgte, mutiert sich die RT auf eine abstraktere Form und die Kritiker fangen wieder von vorne an. |
Das sehe ich nicht so. Erstens verwendet man dem Minkowski-Formalismus schon seit ?ber einem halben Jahrhundert.
Zweitens ist dieser viiiiel einfacher und ?bersichtlicher als der von Einstein. Obwohl beide selbstverst?ndlich ?quivalent sind und selbe Ergebnisse liefern.
LG Wolfi
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18.08.2007 23:07 |
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