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Gerhard Kemme
Routinier


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Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Morgen!
Bin noch am ?berpr?fen, ob es sich bei der Verkn?pfung, die durch # symbolisiert sei und durch die nachfolgende Verkn?pfungs-Tabelle definiert ist, um eine Gruppe handelt:

# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
____________________
...|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
...|
1 | 1 | 2 | 0 | 5 | 3 | 4 |
...|
2 | 2 | 0 | 1 | 4 | 5 | 3 |
...|
3 | 3 | 5 | 4 | 0 | 2 | 1 |
...|
4 | 4 | 3 | 5 | 1 | 0 | 2 |
...|
5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |

z.B. Abgeschlossenheit:
4 # 2 = 5 ? G = {0;1;2;3;4;5}

z.B. Assoziativgesetz:
3 # (4 # 1) = 3 # 3 = 0
(3 # 4) # 1 = 2 # 1 = 0
3 # (4 # 1) = (3 # 4) # 1

MfG Gerhard Kemme

__________________
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191cool

02.09.2007 20:19 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
Wolfi
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Nein, die Menge mit dieser Verkn?pfung ist keine Gruppe, da das Assoziativgesetz nicht f?r alle Elemente erf?llt ist.
Beispiel:
1#(4#4)=1#0=1
aber:
(1#4)#4=3#4=2


LG Wolfi

02.09.2007 22:04 Wolfi ist offline Email an Wolfi senden Beiträge von Wolfi suchen Nehmen Sie Wolfi in Ihre Freundesliste auf Füge Wolfi in deine Contact-Liste ein
Gerhard Kemme
Routinier


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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!

Das werden Korrekturen:


# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
____________________
...|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
...|
1 | 1 | 2 | 0 | 4 | 5 | 4 |
...|
2 | 2 | 0 | 1 | 4 | 5 | 3 |
...|
3 | 3 | 5 | 4 | 0 | 2 | 1 |
...|
4 | 4 | 3 | 5 | 1 | 0 | 2 |
...|
5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |

Muss es bez?glich der Assoziativit?t nocheinmal genau pr?fen. Aber dein Beispiel funktioniert so:
1#(4#4)=1#0=1
(1#4)#4=5#4=1

MfG Gerhard Kemme

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 02.09.2007 23:03.

02.09.2007 22:57 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
Wolfi
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Es gibt wieder Beispiele, wo die Assoziativit?t nicht erf?llt ist.

02.09.2007 23:10 Wolfi ist offline Email an Wolfi senden Beiträge von Wolfi suchen Nehmen Sie Wolfi in Ihre Freundesliste auf Füge Wolfi in deine Contact-Liste ein
fritz
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Gruppe gef?llig? G={1,*} Wie man leicht sieht, sind alle Gruppenaxiome erf?llt

06.09.2007 17:00 fritz ist offline Email an fritz senden Beiträge von fritz suchen Nehmen Sie fritz in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Tag!


Zitat:

fritz schrieb am 06.09.2007 16:00 Uhr:
Gruppe gef?llig? G={1,*} Wie man leicht sieht, sind alle Gruppenaxiome erf?llt



Also - wir ?berpr?fen hier alles.
Abgeschlossenheit: 1 * 1 = 1 ? {1} , d.h. stimmt.
Assoziativgesetz:
(1 * 1) * 1 = 1 * 1 = 1
1 * (1 * 1)= 1 * 1 = 1 , d.h. stimmt usw.

MfG Gerhard Kemme

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06.09.2007 19:05 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
fritz
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Na wenn schon, dann aber richtig:
Neutrales Element ist 1, da 1*1=1,
Inverses Element: 1^(-1)=1, da 1*1=1.

Ok, ziemlich ?de. Spannender ist da schon G={{0,1},* mod 2}
Das ist sogar ein K?rper.

07.09.2007 01:07 fritz ist offline Email an fritz senden Beiträge von fritz suchen Nehmen Sie fritz in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!


Zitat:

fritz schrieb am 07.09.2007 00:07 Uhr:
Neutrales Element ist 1, da 1*1=1,
Inverses Element: 1^(-1)=1, da 1*1=1.


Okay.
Allerdings hatte ich 1*1=1 auch mit einem praktischen Bezug im Sinn gehabt, d.h. es geht um das Zusammenmischen zweier Kugeln Knetmasse.
In diesem Falle sind die Eigenschaften bis auf die Existenz eines Inversen Elementes erf?llt, da das "Wegnehmen" hier als invers zum "Zusammenmischen" definiert wird, d.h.:
1*1=2 "nicht ?" {1}

MfG Gerhard Kemme

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 17.09.2007 22:39.

17.09.2007 22:38 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!

Systematisch ist zwischen den beiden oben genannten mathematischen Strukturen zu unterscheiden.

Die Halbgruppe [+ ; {1}] besteht aus einer additiven Verkn?pfung, die das Zusammenmischen von zwei formbaren Volumina als Grundlage hat. Wie bereits erw?hnt, gelten die Gruppeneigenschaften bis auf die Existenz eines Inversen Elementes:
a + a_inv = e
1 + (-1) = 2 "nicht ?"{1}
Das "Inverse Element" wird hier als umgekehrte Operation zum "Zusammenmischen" definiert, d.h. zum "Abtrennen" eines Volumens - somit 1 Volumen vorhanden, ein Teilvolumen wird abgetrennt - Resultat: Es sind nunmehr 2 Volumina vorhanden.

Die Gruppe [* ; {1}] besteht aus einer multiplikativen Verkn?pfung mit dem Neutralen Element e=1 und dem Inversen Element a_inv=1^-1=1. Somit Neutrales Element:
a * e = a
1 * 1 = 1
Somit Inverses Element:
a * a_inv = e
1 * 1^-1 = 1 * 1 = 1

Wegen nur Halbgruppeneigenschaft handelt es sich um keinen K?rper. Interessant w?re es allerdings, ob das Distributivgesetz G?ltigkeit hat.

a * [b + c]=[a * b + a * c]
1 * [1 + 1]= 1 * 1 + 1 * 1 = 1 + 1 = 1
1 * [1 + 1]= 1 * 1 = 1
Somit hat das Distributivgesetz G?ltigkeit.

MfG Gerhard Kemme

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19.09.2007 21:43 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
chris
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Also {{0,1},* mod 2} ist kein K?rper. Was fritz vermutlich meinte ist der Restklassenk?rper modulo 2. Dies ist der "kleinste" Zahlk?rper in dem Sinne, dass er die wenigsten Elemente, n?mlich [ 0 ] und [ 1 ], enth?lt.

{{1},+} ist keine Halbgruppe, da nicht abgeschlossen, weil offensichtlich
1+1=2.

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von chris am 21.09.2007 16:49.

21.09.2007 16:48 chris ist offline Email an chris senden Beiträge von chris suchen Nehmen Sie chris in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Morgen!


Zitat:

chris schrieb am 21.09.2007 14:48 Uhr:
{{1},+} ist keine Halbgruppe, da nicht abgeschlossen, weil offensichtlich
1+1=2.



Die Verkn?pfung "+" war zuvor n?her definiert worden. Nehmen wir also zwecks Unterscheidung vom gewohnten "+" die Verkn?pfung +, welche eine Abstraktion des Vorgangs des "Zusammenmischens von zwei Substanzen zu einer" darstellt, d.h. eine Kugel Knetgummi und noch eine Kugel Knetgummi zusammengemischt ergibt eine Kugel Knetmasse. Somit ist selbstverst?ndlich "Abgeschlossenheit" vorhanden.
Mathematische Struktur {{1}, +}

Abgeschlossenheit: 1+1=1 Element von {1} o.k.

Assoziativgesetz:
1+(1+1)=1+1=1
(1+1)+1=1+1=1 o.k.

Neutrales Element ist e=1:
1+1=1 o.k.

Inverses Element ist 1_inv bedeutet (einmal Wegnehmen von z.B. Knetmasse aus einem gr?sseren Volumen):
1+1_inv=2 Nicht o.k.

MfG Gerhard Kemme

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22.09.2007 11:30 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
chris
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen


Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 22.09.2007 10:30 Uhr:
Die Verkn?pfung "+" war zuvor n?her definiert worden. Nehmen wir also zwecks Unterscheidung vom gewohnten "+" die Verkn?pfung +, welche eine Abstraktion des Vorgangs des "Zusammenmischens von zwei Substanzen zu einer" darstellt, d.h. eine Kugel Knetgummi und noch eine Kugel Knetgummi zusammengemischt ergibt eine Kugel Knetmasse. Somit ist selbstverst?ndlich "Abgeschlossenheit" vorhanden.
Mathematische Struktur {{1}, +}



Ich denke es ist besser bei der abstrakten Mathematik zu bleiben, da sich jeder unter "Zusammenmischen von Substanzen" etwas anderes vorstellt. So k?nnten auch chemische Reaktionen ablaufen, die alles durcheinander bringen. Wenn sie eine Veranschaulichung von Gruppen brauchen, dann denken sie zum Beispiel an die Symmetrieoperationen von geometrischen Figuren (zB. gleichseitiges Dreieck, Quadrat...)

22.09.2007 12:43 chris ist offline Email an chris senden Beiträge von chris suchen Nehmen Sie chris in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!


Zitat:

chris schrieb am 22.09.2007 11:43 Uhr:
Ich denke es ist besser bei der abstrakten Mathematik zu bleiben, da sich jeder unter "Zusammenmischen von Substanzen" etwas anderes vorstellt.



Wie soll der Vorgang, dass konkret 2 Kugeln Knetgummi zusammengeknetet werden, so dass danach nur noch eine Kugel vorhanden ist, mathematisch als Gleichung geschrieben werden? In solchen F?llen definiert man eben eine entsprechende Verkn?pfung neu und untersucht sie auf ihre allgemeinen Eigenschaften, so dass in diesem Fall eben 1+1=1.

Einen prinzipiell ?hnlichen Fall gibt es bei der Invarianz der LG. Dort schreibt man (erst mal Kladde): "Geschwindigkeit des bewegten Systems + Geschwindigkeit des emitierten Lichtstrahls ist gleich der Geschwindigkeit des emitierten Lichtstrahls", d.h. v + c = c, was selbstverst?ndlich mathematisch Unsinn ist. Auch, wenn mit "definitionsgem?? gleich" gearbeitet wird, v + c =: c, wird das nicht besser.
Also wird man eine Verkn?pfung (+) definieren m?ssen, welche dann eine Gleichung ergibt, so dass v (+) c = c.
Aber vielleicht gibt es da andere Vorschl?ge.

MfG Gerhard Kemme

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22.09.2007 21:23 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen


Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 22.09.2007 20:23 Uhr:
Einen prinzipiell ?hnlichen Fall gibt es bei der Invarianz der LG. Dort schreibt man (erst mal Kladde): "Geschwindigkeit des bewegten Systems + Geschwindigkeit des emitierten Lichtstrahls ist gleich der Geschwindigkeit des emitierten Lichtstrahls", d.h. v + c = c, was selbstverst?ndlich mathematisch Unsinn ist. Auch, wenn mit "definitionsgem?? gleich" gearbeitet wird, v + c =: c, wird das nicht besser.
Also wird man eine Verkn?pfung (+) definieren m?ssen, welche dann eine Gleichung ergibt, so dass v (+) c = c.
Aber vielleicht gibt es da andere Vorschl?ge.



Der Unterschied ist schlicht und einfach, dass der Wechsel zwischen IS in der SRT durch Lorentztransformationen erfolgt. Die Lorentzgruppe ist im Gegensatz zu ihrer Knetmasse wohl definiert und man erh?lt in allen IS dieselbe LG.

22.09.2007 21:35 chris ist offline Email an chris senden Beiträge von chris suchen Nehmen Sie chris in Ihre Freundesliste auf
Wolfi
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Darf ich fragen, was an dieser Gruppe so interessant ist?

LG Wolfi

23.09.2007 00:33 Wolfi ist offline Email an Wolfi senden Beiträge von Wolfi suchen Nehmen Sie Wolfi in Ihre Freundesliste auf Füge Wolfi in deine Contact-Liste ein
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!


Zitat:

Wolfi schrieb am 22.09.2007 23:33 Uhr:
Darf ich fragen, was an dieser Gruppe so interessant ist?



Bei der Gruppe, mit welcher das Thema gestartet wurde, handelt es sich um die Gruppe der Drehungen und Klappungen eines Dreiecks, wenn ich es richtig sehe.
W?hrend 1+1=1 nur eine Halbgruppe ist.

Beide mathematischen Gegenst?nde halte ich insofern f?r interessant, dass an ihnen der Nachweis von Gruppeneigenschaften gut ?berblickt werden kann.

MfG Gerhard Kemme

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19.10.2007 00:06 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Also wenn sie 1+1=1 so definieren, dann ist das eine Gruppe {{1},+} und keine Halbgruppe, da:
Abgeschlossen: offensichtlich
Assoziativ 1+(1+1)=1=(1+1)+1
Neutrales Element: 1+1=1, das bedeutet also e=1!
und damit existiert nat?rlich auch ein inverses Element f?r 1, da:
1+1=1=e
=> 1^-1=1
QED.

(Was auch nicht weiter verwundertlich ist, da sie offensichtlich isomorph zur trivialen Grupp ist.)

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von chris am 20.10.2007 13:21.

20.10.2007 13:19 chris ist offline Email an chris senden Beiträge von chris suchen Nehmen Sie chris in Ihre Freundesliste auf
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!


Zitat:

chris schrieb am 20.10.2007 12:19 Uhr:
...
Neutrales Element: 1+1=1, das bedeutet also e=1!
und damit existiert nat?rlich auch ein inverses Element f?r 1, da:
1+1=1=e
=> 1^-1=1
QED.
(Was auch nicht weiter verwundertlich ist, da sie offensichtlich isomorph zur trivialen Grupp ist.)



Vergleiche bitte in diesem Thread nocheinmal meinen Beitrag vom
22.09.2007 10:30

MfG Gerhard Kemme

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22.10.2007 21:35 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Und? Die Definition des inversen Elementes a^-1 des Elementes a bzgl. einer Verkn?pfung # ist:
a#a^-1=a^-1#a=e, wobei e das neutrale Element bzgl. der Verkn?pfung ist. Genau diese Bedingung erf?llt 1 bzgl. der von ihnen definierten Verkn?pfung +, wie man sich leicht ?berzeugen kann:
1+1=1+1=1.
Ausserdem gilt allgemein, dass das neutrale Element auch immer sein Inverses ist (aus offensichtlichen Gr?nden...).

22.10.2007 21:39 chris ist offline Email an chris senden Beiträge von chris suchen Nehmen Sie chris in Ihre Freundesliste auf
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Re: Handelt es sich um eine Gruppe? Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Morgen!


Zitat:

Wolfi schrieb am 02.09.2007 22:10 Uhr:
Es gibt wieder Beispiele, wo die Assoziativit?t nicht erf?llt ist.


Ist gerade etwas Zeit vorhanden. Du meinst vermutlich:

(3#4)#5=2#5=3
3#(4#5)=3#2=4, d.h. so w?re Assoziativit?t nicht erf?llt:

# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
____________________
...|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
...|
1 | 1 | 2 | 0 | 4 | 5 | 4 |
...|
2 | 2 | 0 | 1 | 4 | 5 | 3 |
...|
3 | 3 | 5 | 4 | 0 | 2 | 1 |
...|
4 | 4 | 3 | 5 | 1 | 0 | 2 |
...|
5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |

Wenn man die Verkn?pfungstafel etwas repariert, dann sollte es mit der Erf?llung des Assoziativgesetzes klappen:

# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
____________________
...|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
...|
1 | 1 | 2 | 0 | 4 | 5 | 4 |
...|
2 | 2 | 0 | 1 | 4 | 5 | 4 |
...|
3 | 3 | 5 | 4 | 0 | 2 | 1 |
...|
4 | 4 | 3 | 5 | 1 | 0 | 2 |
...|
5 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |

MfG Gerhard Kemme

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25.12.2007 04:56 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
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