Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 11.06.2007 15:09 Uhr: Zitat: Jocelyne Lopez schrieb am 11.06.2007 14:42 Uhr: - Wenn man nach der ersten zuf?lligen Wahl noch mal neu zwischen den zwei ?brig gebliebenen T?ren zuf?llig w?hlt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2. Ja, aber die Wahl muss wirklich zuf?llig zustande kommen. Der Spieler muss z.B. eine M?nze werfen, oder ihm werden die Augen verbunden und die Tore vertauscht - oder auch nicht vertauscht. Der Spieler darf nicht mehr wissen, welche T?r er gew?hlt hat, dann steht er vor zwei gleichwertigen T?ren.

Nun, die beiden T?ren sind doch schon sowieso gleichwertig, da der Einzelspieler nicht wei?, wo bei seinem einmaligen Einzelfall die Ziege und wo das Auto steht, oder? Hinter den jeweiligen 2 T?ren stehen doch jetzt real (und nicht mehr wahrscheinlich) jeweils eine Ziege und ein Auto. Aber wo? Das haben Sie weiter oben doch selbst eindeutig erkannt:

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 10.06.2007 21:41 Uhr: Zitat: Jocelyne Lopez schrieb am 10.06.2007 11:12 Uhr: Wenn das Spiel weitergeht mu? er also auf neu anfangen, mit einer neuen Wahrscheinlichkeit, und sie ist eindeutig dann 50:50, auch beim Umsteigen: - Ist das Auto real hinter seiner T?r, verliert er beim Umsteigen. - Ist eine Ziege real hinter seiner T?r, gewinnt er beim Umsteigen. Der Kandidat weiss aber nicht, was real hinter seiner T?r ist.

Was f?r einen Unterschied macht es denn nun f?r das Ergebnis der 2. Runde bei der Originalvariante von Frau Savant, ob der Einzelspieler zuf?llig nach Bauchgef?hl w?hlt, zuf?llig nach das Kinderliedchen "Ene mene muh und raus bist du!", zuf?llig nach den Farben der T?ren, zuf?llig nach zwei Fliegen auf der Wand, zuf?llig nach einer Erinnerung, zuf?llig mit dem Geburtstag seiner Oma, zuf?llig mit geschlossenen Augen oder zuf?llig mit M?nze werfen w?hlt? Inwiefern kann die Art und Weise, wie der Zufall hier zustande kommt mehr oder weniger "zuf?llig" sein f?r ihn? Zufall ist Zufall, sonst ist es nun mal kein Zufall. Das verstehe ich nun nicht.

Viele Gr??e
Jocelyne Lopez

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 11.06.2007 21:53 Uhr: Nun, die beiden T?ren sind doch schon sowieso gleichwertig, da der Einzelspieler nicht wei?, wo bei seinem einmaligen Einzelfall die Ziege und wo das Auto steht, oder?

Hallo Jocelyne,

das ist nicht ganz richtig. Ich m?chte es aber mal nicht mathematisch erkl?ren, sondern versuchen, das Missverst?ndnis sprachlich anzugehen. Dazu werde ich die Problemstellung umformulieren. Ich werde nichts am Spielablauf ver?ndern, sondern nur die in der urspr?nglichen Problemstellung eingebauten Sackgassen eliminieren. Das halte ich deshalb f?r notwendig, weil es sich ja um ein R?tsel handelt, dass dem Leser nicht allzu offensichtlich auf die L?sung hinweisen soll.

Wir haben folgenden Spielablauf:

Drei T?ren, dahinter sind zwei Nieten und ein Preis. Der Kandidat w?hlt eine der T?ren, der Spielleiter ?ffnet einer dar anderen T?ren mit einer Niete, der Kandidat darf sich danach entscheiden, welche der verbliebenen T?ren er endg?tlig w?hlt.

Was in der urspr?nglichen Formulierung nicht erw?hnt wird, ist die Funktion der ersten Wahl f?r den Spielablauf. Entscheidend ist nicht, dass der Kandidat zun?chst eine Option auf den Preis oder die Niete hinter seiner T?r hat, sondern dass er mit dieser Wahl vorgibt, welche T?r der Moderator anschliessend ?ffnen kann.

Meine Formulierung:

Sie nehmen an einem Fernsehquiz teil. Vor Ihnen befinden sich drei T?ren. Hinter einer T?r befindet sich ein Auto, hinter den anderen beiden T?ren befinden sich Ziegen (Nieten). Der Moderator, der weiss, wo sich der Preis befindet, ist verpflichtet, eine der T?ren zu ?ffnen, bevor Sie sich endg?ltig entscheiden. Allerdings darf er eine T?r nicht ?ffnen, n?mlich die mit dem Preis dahinter. Diese T?r ist f?r den Moderator "blockiert". Sie d?rfen als Kandidat ebenfalls eine T?r bestimmen, die der Moderator nicht ?ffnen darf. Wenn es sich dabei um die T?r mit dem Preis handelt, kann der Moderator sich aussuchen, welche der anderen beiden T?ren er ?ffnet. Handelt es sich um eine der beiden Ziegent?ren, bleibt dem Moderator keine Wahl, er muss die T?r mit der anderen Ziege ?ffnen. Danach d?rfen Sie sich f?r eine der verblieben T?ren entscheiden. Die entscheidende Frage dabei ist: Haben Sie eine Ziegent?r blockiert oder die T?r mit dem Auto? Hatte der Moderator die freie Wahl, welche T?r er ?ffnet, oder war er gezwungen, eine bestimmte Ziegent?r zu ?ffnen, weil die andere Ziegent?r durch Sie blockiert war? Die Wahrscheinlichkeit daf?r, dass Sie die T?r mit dem Auto blockiert haben (die der Moderator aber ohnehin nicht ?ffnen durfte) liegt bei 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Ziegent?r blockiert haben, liegt bei 2/3. Es ist also doppelt so wahrscheinlich, dass der Moderator eine bestimmte T?r ?ffnen musste und dass der Preis sich hinter T?r befindet, die Sie nicht blockiert haben.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 11.06.2007 22:59 Uhr: Meine Formulierung: Sie nehmen an einem Fernsehquiz teil. Vor Ihnen befinden sich drei T?ren. Hinter einer T?r befindet sich ein Auto, hinter den anderen beiden T?ren befinden sich Ziegen (Nieten). Der Moderator, der weiss, wo sich der Preis befindet, ist verpflichtet, eine der T?ren zu ?ffnen, bevor Sie sich endg?ltig entscheiden. Allerdings darf er eine T?r nicht ?ffnen, n?mlich die mit dem Preis dahinter. Diese T?r ist f?r den Moderator "blockiert". Sie d?rfen als Kandidat ebenfalls eine T?r bestimmen, die der Moderator nicht ?ffnen darf. Wenn es sich dabei um die T?r mit dem Preis handelt, kann der Moderator sich aussuchen, welche der anderen beiden T?ren er ?ffnet. Handelt es sich um eine der beiden Ziegent?ren, bleibt dem Moderator keine Wahl, er muss die T?r mit der anderen Ziege ?ffnen. Danach d?rfen Sie sich f?r eine der verblieben T?ren entscheiden. Die entscheidende Frage dabei ist: Haben Sie eine Ziegent?r blockiert oder die T?r mit dem Auto? Hatte der Moderator die freie Wahl, welche T?r er ?ffnet, oder war er gezwungen, eine bestimmte Ziegent?r zu ?ffnen, weil die andere Ziegent?r durch Sie blockiert war? Die Wahrscheinlichkeit daf?r, dass Sie die T?r mit dem Auto blockiert haben (die der Moderator aber ohnehin nicht ?ffnen durfte) liegt bei 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Ziegent?r blockiert haben, liegt bei 2/3. Es ist also doppelt so wahrscheinlich, dass der Moderator eine bestimmte T?r ?ffnen musste und dass der Preis sich hinter T?r befindet, die Sie nicht blockiert haben.

Sorry, aber ich habe wirklich keine Lust, ein neues Spiel mit neuen Randbedingungen zu untersuchen, nachdem wir schon seit 25 Seiten die Originalversion von Frau vos Savant, die hier zur Diskussion gestellt wurde, noch nicht endg?ltig gekl?rt haben. Ich habe bis jetzt wohl wie keinen anderen Teilnehmer sehr viel Zeit und Einsatz daran investiert, wir haben schon hier zig andere Gl?ckspielkonstellationen untersucht mit immer wieder anderen Randbedingungen, dazu habe ich also wirklich keine Lust und kein Interesse, ich bitte um Verst?ndnis.

Vielmehr m?chte ich bei der schon eingehend untersuchten Originalversion bleiben und noch von Ihnen die Beantwortung meiner Fragen bekommen:

Sie best?tigte n?mlich, dass bei der Originalversion des Ziegenspiels der Kandidat eine 50:50 Gewinnchance hat, mit oder ohne Umsteigen, wenn er sich zuf?llig entscheidet. Das freut mich nach 25 Seiten Diskussion das zu lesen, weil ich eben auch dieser Meinung seit Anfang des Threads bin. Das entspricht auch offensichtlich der Lehrmeinung, die mir von einem Mathematiker aus einem universit?ren Mathematik-Institut vor kurzem mitgeteilt wurde. Uf, ein Konsens! Schon mal was.

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 11.06.2007 15:09 Uhr: Zitat: Jocelyne Lopez schrieb am 11.06.2007 14:42 Uhr: - Wenn man nach der ersten zuf?lligen Wahl noch mal neu zwischen den zwei ?brig gebliebenen T?ren zuf?llig w?hlt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2. Ja, aber die Wahl muss wirklich zuf?llig zustande kommen. Der Spieler muss z.B. eine M?nze werfen, oder ihm werden die Augen verbunden und die Tore vertauscht - oder auch nicht vertauscht. Der Spieler darf nicht mehr wissen, welche T?r er gew?hlt hat, dann steht er vor zwei gleichwertigen T?ren.

Bleibt also nur ein Detail hier zu kl?ren, bis wir uns vollkommen einig sind, und dar?ber bitte ich eben um Ihre Erl?uterungen:

Sie sagten, ein Kandidat habe bei der zweiten Runde nur dann eine 50:50 Chance, wenn er sich "wirklich zuf?llig" z.B. mit M?nze werfen zwischen den zwei T?ren entscheidet.

Und das kann ich eben nicht nachvollziehen, inwiefern die Art und Weise, wie der Kandidat sich zuf?llig entscheidet einen Einflu? auf seine 50:50 Wahrscheinlichkeit haben kann.

- Hat ein Kandidat bei anderen Zufallentscheidungen als M?nzewerfen mit geschlossenen Augen denn keine 50:50 Gewinnchance mehr, sondern 2/3 Gewinnchance????

Wie kann es angehen? Und aus welchen Gr?nden?

Viele Gr??e
Jocelyne Lopez

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Das ist doch ganz einfach, Frau Lopez. Wenn der Kandidat zuf?llig entscheidet, dann hat er tats?chlich nur eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,5. Zuf?llig hei?t hier, dass er die letztendlich gew?hlte T?r komplett neu auslost und nicht einfach nur wechselt.

Wenn er die T?r nicht zuf?llig ausw?hlt, sondern die andere nach ?ffnen der Niete ?brig gebliebene T?r ?ffnet, dann hat er eine Wahrscheinlichkeit von 2/3. Und zwar auch als Einzelspieler bei nur einem Spiel!

Zu Ihrem Argument, dass eine Wiederholung die Wahrscheinlichkeit ?ndern w?rde, kann ich nur sagen: das ist falsch. Und das hat Ihnen Ihr Mathematiker so sicherlich nicht geschrieben.

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Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Was Herr M?nz dort schildert, ist doch das originale Ziegenproblem. Nur halt etwas anschaulicher erkl?rt.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 12.06.2007 00:10 Uhr: Sorry, aber ich habe wirklich keine Lust, ein neues Spiel mit neuen Randbedingungen zu untersuchen, nachdem wir schon seit 25 Seiten die Originalversion von Frau vos Savant, die hier zur Diskussion gestellt wurde, noch nicht endg?ltig gekl?rt haben.

Das ist kein neues Spiel, das ist exakt das gleiche Spiel. Der einzige Unterschied ist, dass die Funktion der ersten Entscheidung des Kandidaten nicht verschleiert wird.

Zitat:

Sie sagten, ein Kandidat habe bei der zweiten Runde nur dann eine 50:50 Chance, wenn er sich "wirklich zuf?llig" z.B. mit M?nze werfen zwischen den zwei T?ren entscheidet. Und das kann ich eben nicht nachvollziehen, inwiefern die Art und Weise, wie der Kandidat sich zuf?llig entscheidet einen Einflu? auf seine 50:50 Wahrscheinlichkeit haben kann. - Hat ein Kandidat bei anderen Zufallentscheidungen als M?nzewerfen mit geschlossenen Augen denn keine 50:50 Gewinnchance mehr, sondern 2/3 Gewinnchance???? Wie kann es angehen? Und aus welchen Gr?nden?

Grunds?tzlich hat jeder Kandidat, der die T?r wechselt, eine Gewinnchance von 2/3. Daf?r muss er aber wissen, welche T?r er zuerst gew?hlt hat. ?berl?sst er die Entscheidung dem blinden Zufall, z.B. einem M?nzwurf, spielt das Wissen, welche T?r er zuerst gew?hlt hat, keine Rolle mehr. Die M?nze weiss nicht, welche T?r der Kandidat zuerst gew?hlt hat. Das gleiche gilt auch dann, wenn man dem Kandidaten die Augen verbindet und ihm sagt, dass die T?ren vertauscht sein "k?nnten", wenn die Binde wieder abgenommen wird.

Dann gilt noch immer, dass der Kandidat eine 2/3 Chance hat, wenn er die T?r wechselt, nur kann der Kandidat die T?ren nicht mehr unterscheiden.

Ich m?chte die Gelegenheit nutzen, um einen Punkt hinzuweisen, auf den Sie noch nicht eingegangen sind:

http://www.ekkehard-friebe.de/friebeforum/thread.php?threadid=182&startid=24#p27502082328156736

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 11.06.2007 15:09 Uhr: Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist auch 2/3, wenn man unbewusst wechselt. Wenn man eine Gruppe von 1000 Spielern, die ohne Strategie spielen, also mal wechseln und mal nicht, hinterher gem?ss ihrer Entscheidung aufteilt, stellt man fest, dass insgesamt 50% aller Spieler gewonnen haben, aber von den Wechslern ca. 66% und von den Nichtwechslern nur ca 33%. Unter den 500 Gewinnern sind mehr Wechsler als Nichtwechsler, n?mlich doppelt so viele.

Ich habe das mit dem Online-Ziegenprogramm getestet. Leider habe ich mir nur handschriftliche Notizen gemacht. Aber der Test best?tigt: Die Fiftyfifty-Wahrscheinlichkeit ist bei einer Gruppe von zuf?llig entscheidenden Spielern nur ein oberfl?chliches Ergebnis. Die genaue Analyse ergibt, dass auch hier die Wechsler doppelt so oft gewinnen, wie die Nichtwechsler.

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Rudolf M?nz am 12.06.2007 01:52.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 12.06.2007 00:10 Uhr: Sorry, aber ich habe wirklich keine Lust, ein neues Spiel mit neuen Randbedingungen zu untersuchen,

Da sind keine neuen Randbedingungen, das ist das normale Ziegenproblem. Wo sehen Sie denn da Neuerungen, die Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten haben k?nnten?

Schicken Sie das doch Ihrem Mathematiker, der wird Ihnen das best?tigen.

Zitat:

Sie sagten, ein Kandidat habe bei der zweiten Runde nur dann eine 50:50 Chance, wenn er sich "wirklich zuf?llig" z.B. mit M?nze werfen zwischen den zwei T?ren entscheidet. Und das kann ich eben nicht nachvollziehen, inwiefern die Art und Weise, wie der Kandidat sich zuf?llig entscheidet einen Einflu? auf seine 50:50 Wahrscheinlichkeit haben kann.

Die Wahrscheinlichkeit von 0,5 gibt es nur, und wirklich nur dann, wenn die Wahl der T?ren zuf?llig erfolgt und der Kandidat nicht mehr wei?, welche T?r er zuerst gew?hlt hat.

Wenn er wei?,welche T?r er zuerst gew?hlt hat, dann hat er beimWechseln eine Chance von 2/3 und beim bleiben 1/3.

Zitat:

- Hat ein Kandidat bei anderen Zufallentscheidungen als M?nzewerfen mit geschlossenen Augen denn keine 50:50 Gewinnchance mehr, sondern 2/3 Gewinnchance????

Das ist falsch, wie kommen Sie denn bitte auf so etwas absurdes?

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Hans Baeyer-Villiger am 12.06.2007 01:57.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 12.06.2007 00:42 Uhr: Ich habe das mit dem Online-Ziegenprogramm getestet. Leider habe ich mir nur handschriftliche Notizen gemacht. Aber der Test best?tigt: Die Fiftyfifty-Wahrscheinlichkeit ist bei einer Gruppe von zuf?llig entscheidenden Spielern nur ein oberfl?chliches Ergebnis. Die genaue Analyse ergibt, dass auch hier die Wechsler doppelt so oft gewinnen, wie die Nichtwechsler.

Ein Nachtrag dazu:

Man muss f?r diesen Test keine M?nze werfen, um jeweils zu entscheiden, ob man wechselt oder nicht. Ich war ganz genau und habe es zun?chst mit einer M?nze gemacht, aber das war eigentlich nicht notwendig, da es ja nicht darum ging, die M?nze zu testen. Manchmal steht man halt auf dem Schlauch.

Wenn man eine Gruppe von Spielern simulieren m?chte, die in 50% der F?lle wechseln und in den anderen 50% nicht, dann spielt man 100 Durchg?nge mit Wechseln und 100 Durchg?nge ohne Wechseln. Rechnet man beide Gruppen zusammen, dann hat man tats?chlich eine Verteilung, die einer Fiftyfifty-Chance entspricht. Nur die H?lfte der Spiele wurden gewonnen. F?r sich betrachtet ergeben die jeweils 100 Durchg?nge aber das bekannte Ergebnis, 2/3 der Wechselspiele wurden gewonnen, 1/3 verloren, 1/3 der Nichtwechselspiele wurden gewonnen und 2/3 verloren.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 12.06.2007 01:18 Uhr: Wenn man eine Gruppe von Spielern simulieren m?chte, die in 50% der F?lle wechseln und in den anderen 50% nicht, dann spielt man 100 Durchg?nge mit Wechseln und 100 Durchg?nge ohne Wechseln. Rechnet man beide Gruppen zusammen, dann hat man tats?chlich eine Verteilung, die einer Fiftyfifty-Chance entspricht. Nur die H?lfte der Spiele wurden gewonnen. F?r sich betrachtet ergeben die jeweils 100 Durchg?nge aber das bekannte Ergebnis, 2/3 der Wechselspiele wurden gewonnen, 1/3 verloren, 1/3 der Nichtwechselspiele wurden gewonnen und 2/3 verloren.

Wie man klar erkennen kann, sprechen die empirischen Daten eine klare Sprache:

Wechselt der Spieler die T?r: 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit

Wechselt er sie nicht: 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit.


Logisch zwingend muss dies auch f?r ein einzelnes Spiel gelten.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 12.06.2007 01:18 Uhr: Ein Nachtrag dazu: Man muss f?r diesen Test keine M?nze werfen, um jeweils zu entscheiden, ob man wechselt oder nicht. Ich war ganz genau und habe es zun?chst mit einer M?nze gemacht, aber das war eigentlich nicht notwendig, da es ja nicht darum ging, die M?nze zu testen. Manchmal steht man halt auf dem Schlauch.

Uf! Da haben Sie mir aber jetzt doch ein ganz gro?es metaphysisches Problem abgenommen!

Ich habe echt Angst gehabt, dass der Zufall sich nach meinen Gedanken richtet, um sich zu ereignen, wie er sich ereignet. Das w?re ja ganz unheimlich, nicht? Ich bin n?mlich nicht esoterisch veranlagt.

Also noch einmal zur Sicherheit:

Es besteht eine 50:50 Gewinnchance f?r den Kandidat in die 2. Runde, wenn er sich entscheidet umzusteigen oder nicht, z.B. in folgenden F?llen:

- Nach seinem Bauchgef?hl,
- Nach einer Erinnerung
- Nach M?nze werfen
- Nach der Farbe der T?ren
- Wenn er nie von der Wechselstrategie etwas geh?rt hat (zum Beispiel ein Kleinkind)

Ja oder Nein?

Viele Gr??e
Jocelyne Lopez

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Es besteht eine 50:50 Gewinnchance f?r den Kandidat in die 2. Runde, wenn er sich entscheidet umzusteigen oder nicht, z.B. in folgenden F?llen: - Nach seinem Bauchgef?hl, - Nach einer Erinnerung - Nach M?nze werfen - Nach der Farbe der T?ren - Wenn er nie von der Wechselstrategie etwas geh?rt hat (zum Beispiel ein Kleinkind) Ja oder Nein?

Nun, wenn man nicht nach der Wechselstrategie handelt sondern nach den obengenannten Gr?nden, kommt es letztlich einfach darauf an was man tut.
Wechselt man nach Bauchgef?hl die T?r, so hat man eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Spiel, aber man wei? es ja gar nicht. Wechselt man nicht, hat man nur eine 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, ohne davon zu wissen. Wenn man mal so oder mal so in vielen Spielen entscheidet, dann wird man in 50% der F?lle gewinnen.
Durch die gezwungenen Regeln die auch der Moderator zu erf?llen hat, wie es in der Formulierung von Herrn M?nz offensichtlicher wird, bekommt man in gewisser Weise zus?tzliche Informationen. Diese kann man ausnutzen, indem man immer wechselt - oder nicht, indem man z.B. eine M?nze wirft um zu entscheiden ob man wechselt oder nicht.
Wenn man die Information nicht ausnutzt, steht man tats?chlich vor der Situation: Hinter einer T?r ist eine Ziege, hinter der anderen ist der Preis, also 50:50 Chance.
Das ist im Grunde das selbe, als wenn man vom Moderator ein verstecktes Zeichen bekommt, wo der Preis ist. Dann hat man sogar eine 100% Gewinnwahrscheinlichkeit wenn man die Information nutzt. Wenn man aber trotzdem seine Entscheidung von einem M?nzwurf abh?ngig macht, hat man diese Information vollst?ndig verschenkt und landet wiederum bei 50:50.

Viele Gr??e,
Sammy

__________________
The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

sammylight schrieb am 12.06.2007 10:18 Uhr: Nun, wenn man nicht nach der Wechselstrategie handelt sondern nach den obengenannten Gr?nden, kommt es letztlich einfach darauf an was man tut. Wechselt man nach Bauchgef?hl die T?r, so hat man eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Spiel, aber man wei? es ja gar nicht. Wechselt man nicht, hat man nur eine 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit, ohne davon zu wissen. Wenn man mal so oder mal so in vielen Spielen entscheidet, dann wird man in 50% der F?lle gewinnen. Durch die gezwungenen Regeln die auch der Moderator zu erf?llen hat, wie es in der Formulierung von Herrn M?nz offensichtlicher wird, bekommt man in gewisser Weise zus?tzliche Informationen. Diese kann man ausnutzen, indem man immer wechselt - oder nicht, indem man z.B. eine M?nze wirft um zu entscheiden ob man wechselt oder nicht. Wenn man die Information nicht ausnutzt, steht man tats?chlich vor der Situation: Hinter einer T?r ist eine Ziege, hinter der anderen ist der Preis, also 50:50 Chance. Das ist im Grunde das selbe, als wenn man vom Moderator ein verstecktes Zeichen bekommt, wo der Preis ist. Dann hat man sogar eine 100% Gewinnwahrscheinlichkeit wenn man die Information nutzt. Wenn man aber trotzdem seine Entscheidung von einem M?nzwurf abh?ngig macht, hat man diese Information vollst?ndig verschenkt und landet wiederum bei 50:50.

Ich erinnere an den Beitrag, wo ich schon in der Seite 2 dieses Threads, vor fast genau einem Jahr, meine Meinung zu diesem Ziegenproblem dargelegt habe (ich hatte noch nie vorher von diesem Spiel etwas geh?rt):

http://www.ekkehard-friebe.de/friebeforum/thread.php?threadid=182&startid=2#p27502082325026895

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 14.06.2006 09:09 Uhr: Zitat: MontyHall schrieb am 14.06.2006 00:04 Uhr: Die L?sung hat doch Norbert Derksen schon genannt. Du liegst also falsch. Ich gehe aber davon aus, dass Du nicht daran interessiert bist zu erfahren, warum Du falsch liegst. Doch, ich bin interessiert zu wissen, warum ich falsch liege... Die Situation ist f?r mich n?mlich ganz klar: Zum Zeitpunkt, wo ich meine Entscheidung zu treffen habe steht meine Chance 50:50. Das ganze Brimborium bei der Spielanleitung ist f?r mich erst einmal nur Showbusiness: die 3 T?re, die 3 Objekte, meine M?glichkeit zur Vorwahl einer T?r, das ?ffnen einer T?r durch den Moderator, die Empfehlung des Moderators an mich, alles nur Showbusiness, v?llig irrelevant. Zum Zeitpunkt, wo ich meine Entscheidung zu treffen habe steht hinter der T?r A und der T?r B jeweils eine Ziege und ein Auto. Punkt. Das ist die ganz klassische 50:50 Entscheidung: zum Beispiel Rot/Schwarz oder Gerade/Ungerade bei Roulette, oder auch die Entscheidung beim M?nzenwerfen. Da sind weder mathematische ?berlegungen noch Intuition in Spiel: Das ist das klassische "Gl?ckszufall". Ich kann mich durch irgendeines "mentale M?nzenwerfen" entscheiden, das wird auch nicht helfen: Meine Chance steht in der Wirklichkeit trotzdem immer 50:50. Warum liege ich also falsch?

Ja, warum lag ich also falsch, warum warf man mir mangelndes Interesse vor, warum musste ich 25 Seiten lang meine Argumente immer und immer wieder vorbringen, warum hat man mich immer und immer wieder als unendlich dumm beschimpft und beleidigt, wenn wir doch einig sind, und wenn meine Meinung auch der Lehrmeinung entspricht?
Kann das jemand verstehen? Ich nicht.

Viele Gr??e
Jocelyne Lopez

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Ich w?rde niemandem, der das Ziegenproblem nicht versteht als dumm beschimpfen. Das finde ich auch nicht gut.
Aus Ihrem fr?heren Posting geht allerdings nicht so klar hervor, dass man durch umsteigen eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit erh?lt.
Entscheidet man durch M?nzwurf oder sonstigem Zufallsprinzip wie etwa "Bauchgef?hl", hat man in der Tat eine 50:50 Chance. Das ist richtig in Ihrem alten Posting. Tut man das nicht, sondern nutzt die Spielregeln aus, so hat man eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln. Insofern ist die Spielanleitung eben kein

Zitat:

"Das ganze Brimborium bei der Spielanleitung ist f?r mich erst einmal nur Showbusiness"

und das war falsch an dem damaligen Posting.
Die Spielregeln an die sich auch der Moderator halten muss, kann der Kandidat ganz gezielt f?r sich ausnutzen. Das modifizierte Ziegenspiel das ich ins Gespr?ch gebracht hatte, besitzt keine so strengen Spielregeln f?r den Moderator. Er kann in diesem Fall ?ffnen was er will, z.B. zuf?llig. In diesem Fall kann der Kandidat dann die Regeln auch nicht ausnutzen und landet bei 50:50.

Viele Gr??e,
Sammy

__________________
The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Frau Lopez,

entspricht Ihrer Meinung auch, dass ein einzelner Spieler eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem einmaligen Spiel hat, wenn er die T?r wechselt und nur 1/3, wenn er bei seiner Wahl aus der ersten Runde bleibt?

(Die Frage bezieht sich auf das klassische Ziegenproblem, wie es Herr M?nz gestern abend noch einmal vorgstellt hat).

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Hans Baeyer-Villiger am 12.06.2007 11:59.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

sammylight schrieb am 12.06.2007 10:52 Uhr: Aus Ihrem fr?heren Posting geht allerdings nicht so klar hervor, dass man durch umsteigen eine 2/3 Gewinnwahrscheinlichkeit erh?lt.

Auch da waren wir uns aber schon lange einig. Ich erinnere an meinen Beitrag in der Seite 2 dieses Threads, vor fast genau einem Jahr, kurz nach meinem oben zitierten Beitrag:

http://www.ekkehard-friebe.de/friebeforum/thread.php?threadid=182&startid=2#p27502082325029781

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 14.06.2006 17:10 Uhr: Und was hat das zu tun mit mathematischen Wahrscheinlichkeitsrechnungen zum Optimierung einer Chance, die nicht zu optimieren war? Das habe ich noch nicht verstanden... Zitat: MontyHall schrieb am 14.06.2006 16:03 Uhr: Die Optimierung besteht darin, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto gewinnt, wenn man die T?r wechselt. Denn der Kandidat gewinnt beim Wechseln immer, wenn er zuerst eine Ziege w?hlt. Stimmt! Jetzt sehe ich es auch. Aber gut, das ist wiederum nur eine rein statistische Chanceoptimierung, und Statistiken helfen bekanntlich aus der Perspektive eines einzelnen Menschen ?berhaupt nicht, das richtige "Gl?ck" bei einer einzelnen Entscheidung zu haben (hier als Spieler das Gl?ck, auf eine Ziege statt auf ein Auto zu tippen). Was bringt es f?r meinen gesunden Menschenverstand zu erfahren, dass zwei andere Spieler das Auto gewinnen konnten, und ich nicht? Ich habe vielleicht auch nur 1% Risiko bei einem Flugszeugabst?rz zu sterben, das ist wenig, aber was n?tzt mir das pers?nlich, wenn ich nur einmal unter den 1 % geh?re, ich habe n?mlich auch nur ein Leben...

Was sollte also das ganze, und die vielen Beschimpfungen und Beleidigungen, wenn wir uns schon von Anfang an einig waren?

Kann das jemand verstehen? Ich nicht.

Viele Gr??e
Jocelyne Lopez

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 12.06.2007 08:31 Uhr: Also noch einmal zur Sicherheit: Es besteht eine 50:50 Gewinnchance f?r den Kandidat in die 2. Runde, wenn er sich entscheidet umzusteigen oder nicht, z.B. in folgenden F?llen: - Nach seinem Bauchgef?hl, - Nach einer Erinnerung - Nach M?nze werfen - Nach der Farbe der T?ren - Wenn er nie von der Wechselstrategie etwas geh?rt hat (zum Beispiel ein Kleinkind) Ja oder Nein?

Nein. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es in den genannten F?llen entweder eine 2/3- oder eine 1/3 Chance. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es keine 50:50-Chance, da kein einzelner Kandidat gleichzeitig wechseln und nicht wechseln kann. 50:50 gibt es nur als Ergebnis f?r eine Gruppe von Wechslern und Nichtwechslern.

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 12.06.2007 11:14 Uhr: Was sollte also das ganze, und die vielen Beschimpfungen und Beleidigungen, wenn wir uns schon von Anfang an einig waren? Kann das jemand verstehen? Ich nicht.

Welche vielen Beschimpfungen?

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Rudolf M?nz schrieb am 12.06.2007 12:16 Uhr: Zitat: Jocelyne Lopez schrieb am 12.06.2007 08:31 Uhr: Also noch einmal zur Sicherheit: Es besteht eine 50:50 Gewinnchance f?r den Kandidat in die 2. Runde, wenn er sich entscheidet umzusteigen oder nicht, z.B. in folgenden F?llen: - Nach seinem Bauchgef?hl, - Nach einer Erinnerung - Nach M?nze werfen - Nach der Farbe der T?ren - Wenn er nie von der Wechselstrategie etwas geh?rt hat (zum Beispiel ein Kleinkind) Ja oder Nein? Nein. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es in den genannten F?llen entweder eine 2/3- oder eine 1/3 Chance. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es keine 50:50-Chance, da kein einzelner Kandidat gleichzeitig wechseln und nicht wechseln kann. 50:50 gibt es nur als Ergebnis f?r eine Gruppe von Wechslern und Nichtwechslern.

Hallo

ich h?tte bei einem M?nwurf auf eine 50:50 Chance getippt. Die M?nze kann auf 2/3 Chance oder auf 1/3 Chance fallen. Dieses ist unbestimmt. Also eine neue Wahrscheinlichkeit. Kann mich aber auch vertun.

Gru?

Sebastian

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Was sollte also das ganze, und die vielen Beschimpfungen und Beleidigungen, wenn wir uns schon von Anfang an einig waren? Kann das jemand verstehen? Ich nicht.

W?ste Beschimpfungen sind nat?rlich sowieso nicht gerechtfertigt und zwar vollkommen unabh?ngig von der Meinung die die beschimpfte Person vertritt.
Ich habe das Gef?hl, dass wir uns jetzt wirklich alle einig sind, bis vielleicht auf einige Spitzfindigkeiten.

Mir pers?nlich hat die Diskussion dennoch Spa? gemacht und ich habe auch neue Erkenntnisse gewonnen. So tiefgr?ndig habe ich das zuvor noch nicht durchdacht gehabt.

Zu der vielleicht letzten Unklarheit

Zitat:

R. M?nz: Nein. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es in den genannten F?llen entweder eine 2/3- oder eine 1/3 Chance. F?r einen einzelnen Kandidaten gibt es keine 50:50-Chance, da kein einzelner Kandidat gleichzeitig wechseln und nicht wechseln kann. 50:50 gibt es nur als Ergebnis f?r eine Gruppe von Wechslern und Nichtwechslern.

W?rde ich mich vielleicht eher der Meinung von S. Hauk anschliessen, wobei ich auch die Meinung von R. M?nz verstehe.
Definiert man die Gewinnwahrscheinlichkeit ?ber den Erwartungswert der gewonnen Spiele und gewinnt man in 50% der Spiele wo das umsteigen mit einem M?nzwurf entschieden wird, dann w?rde ich auch dieser Strategie eine 50% Gewinnwahrscheinlichkeit zuordnen.

Etwas tiefgr?ndiger w?rde ich argumentieren, dass man aus einer Menge von genutzten Informationen eine Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen kann. Nutze ich die Information die sich aus den Spielregeln des originalen Ziegenproblems ergibt, kann ich berechnen: Umsteigen 2/3, Verbleiben 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit. Nutze ich diese Information nicht, so kann ich nur auf eine 50% Gewinnwahrscheinlichkeit rechnerisch kommen.

Jetzt darf man aber nicht einfach als >Au?enstehender< sagen: "Mit mehr Informationen kommt 2/3 beim umsteigen heraus, daher h?ttest Du eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 selbst herausfinden m?ssen!"

Angenommen die Ziehung der Lottozahlen w?rde bereits 1 Woche vor der Ausstrahlung aufgenommen. Trotzdem ergibt sich f?r die Spieler immer noch die gleiche Situation, die Gewinnwahrscheinlichkeit ist identisch mit der, als wenn die Ziehung live ?bertragen wird. Denn die Information, welche Zahlen kommen werden steht zwar schon fest, die Spieler k?nnen sie nur eben nicht nutzen.

Zur?ck zum Ziegenproblem: Wenn der Spieler nicht wei?, an welche Regeln sich der Moderator halten muss wenn er die Niete ?ffnet, kann er nur ein 50:50 Ergebnis vorherberechnen - oder sogar ?berhaupt keines. Nach zahlreichen Spielen k?nnte man diese Information dann aber empirisch herausfinden.

Viele Gr??e,
Sammy

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The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Herausforderung f?r den gesunden Menschenverstand

Zitat:

Sebastian Hauk schrieb am 12.06.2007 12:46 Uhr: Hallo ich h?tte bei einem M?nwurf auf eine 50:50 Chance getippt. Die M?nze kann auf 2/3 Chance oder auf 1/3 Chance fallen. Dieses ist unbestimmt. Also eine neue Wahrscheinlichkeit. Kann mich aber auch vertun.

Ja, das klingt logisch. Allerdings gilt die 50:50-Chance f?r den M?nzwurf, die 2/3 beim T?renwechseln bleiben vorhanden und sind auch bei einer nachtr?glichen Auswertung nachweisbar.