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Gerhard Kemme
Routinier


Dabei seit: 29.06.2007
Beiträge: 436

Re: Lorentzgruppe Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!

Wer sich kritisch mit einer Sache auseinandersetzen will, muss sie zumindest in den Grundz?gen verstehen. Im Themenbereich Lorentztransformation und Lorentzgruppe wird man einen Wirrwar von unterschiedlichen Ebenen und Bezeichnungsweisen finden.

Mathematischer Ausgangspunkt war das im Beitrag zuvor notierte Gleichungssystem von Albert Einstein.
Dieses wurde danach in Matrixform geschrieben, so dass es aus einer

4x4-Matrix multipliziert mit 4x1-Matrix (Spaltenvektor) gleich 4x1-Matrix (transformierter Spaltenvektor)

bestand.

Diese Matrix wurde nunmehr auf den Minkowski-Raum bezogen und dann auch v?llig von der physikalischen Anwendung losgel?st abstrakt mathematisch als Menge der Matrizen, d.h. der Orthogonalen Abbildungen O(3,1), geschrieben, die ein "Pseudo Skalarprodukt" invariant lassen. Diese Terminologie setzt f?r die ausschlie?lich mathematische Struktur eine Eigenschaft von Mengen um, die dann bei Anwendung dieser Struktur die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit einbringt.

Nachfolgend die Ebene, welche sich konkret an ein Gedankenexperiment orientiert, bei welchem in einem Ruhesystem sich ein Bezugssystem bewegt und auf diesem noch eines.

Elemente der Menge der LT mit allen erforderlichen Informationen w?ren die Produkte aus Matrix und Spaltenvektor:

LT(Geschwindigkeit v1)=

|gamma(v1)...........|-gamma(v1)*?eta(v1)|..0..|..0..|.......|.c*t|
|-gamma(v1)*?eta(v1)..|....gamma(v1).....|..0..|..0..|.......|..x..|
|...............0..............|................0..............|..1..|..0..|...*..|..y..|
|...............0..............|................0..............|..0..|..1..|.......|..z..|

Diese LT soll jetzt verkn?pft werden mit:

LT(Geschwindigkeit v2)=

|gamma(v2)...........|-gamma(v2)*?eta(v2)|..0..|..0..|.......|.c*t|
|-gamma(v2)*?eta(v2)..|....gamma(v2).....|..0..|..0..|.......|..x..|
|..........0...................|..................0............|..1..|..0..|...*..|..y..|
|..........0...................|..................0............|..0..|..1..|.......|..z..|

Die Verkn?pfung oder Hintereinanderausf?hrung wird jetzt per "Relativistischer Geschwindigkeitsaddition" vorgenommen:

.............v1 + v2
v3 = _________
.........1 + v1*v2/c?

Danach hat man die aus der Verkn?pfung per Hintereinanderausf?hrung gewonnene LT:

LT(Geschwindigkeit v3)=

|gamma(v3)...........|-gamma(v3)*?eta(v3)|..0..|..0..|.......|.c*t|
|-gamma(v3)*?eta(v3)..|....gamma(v3).....|..0..|..0..|.......|..x..|
|...............0..............|.................0.............|..1..|..0..|...*..|..y..|
|...............0..............|.................0.............|..0..|..1..|.......|..z..|

Wobei.
gamma=1/sqrt(1-v?/c?)
?eta=v/c

MfG Gerhard Kemme

__________________
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191cool

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 26.10.2008 19:55.

26.10.2008 19:51 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
Gerhard Kemme
Routinier


Dabei seit: 29.06.2007
Beiträge: 436

Re: Lorentzgruppe Zitatantwort auf diesen Beitrag erstellen Diesen Beitrag editieren/löschen Diesen Beitrag einem Moderator melden       IP Information Zum Anfang der Seite springen

Guten Abend!
Die Pr?fung der physikalischen Substanz kann nur erfolgen, wenn man den mathematischen Algorithmus kennt.

t'=t/sqrt(1-v?/c?) - v/c?*x/sqrt(1-v?/c?)
x'=-v*t/sqrt(1-v?/c?)+x/sqrt(1-v?/c?)
y'=y
z'=z

c*t'=c*t/sqrt(1-v?/c?) - v/c*x/sqrt(1-v?/c?)
x'=-v/c*c*t/sqrt(1-v?/c?)+x/sqrt(1-v?/c?)
y'=y
z'=z

Mit gamma=Y=1/sqrt(1-v?/c?) und Beta=?=v/c:
c*t'= y*c*t-y*?*x
x'=-y*?*c*t+y*x
y'=y
z'=z

Eine LT ist eine Abbildung LT von R^4 nach R^4, welche den Spaltenvektor (c*t,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z') abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4x4-Matrix mit dem Spaltenvektor (c*t,x,y,z), d.h. einer 4x1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z'), d.h. einer 4x1-Matrix, entspricht.
Somit:
LT: R^4 -> R^4
(c*t,x,y,z) -> (c*t?,x?,y?,z?)=4x4-Matrix_LT*(c*t,x,y,z)

|......................................|
|....Y......-Y*?...... 0.......0|..
|......................................|.. = 4x4-Matrix_LT
|..-Y*?........Y......0........0|.
|......................................|
|......0...........0......1........0|
|......................................|
|.......0..........0.......0.......1|
|......................................|

Nachfolgend wird nur noch mit R^2 gearbeitet:
Mit gamma=Y=1/sqrt(1-v?/c?) und Beta=?=v/c:
c*t'= y*c*t-y*?*x
x'=-y*?*c*t+y*x
LT: R^2 -> R^2
(c*t,x) -> (c*t?,x?)=2x2-Matrix_LT*(c*t,x)

|........................|
|....Y......-Y*?....|..
|........................|.. = 2x2-Matrix_LT
|..-Y*?........Y....|.
|........................|

Grundlagen Matrizen-Multiplikation:

Schreibweise:
(Zeilenanzahl, Spaltenanzahl)-Matrix_A, somit (m, n)-Matrix_A oder (n, p)-Matrix_B
Voraussetzung ist, dass Spaltenanzahl des ersten Faktors gleich Zeilenanzahl des zweiten Faktors.
(m, n)-Matrix_A * (n, p)-Matrix_B = (m, p)-Matrix_C

|.2.....3..|....|..4.|
|.............|.*.|.....|
|.5......7.|....|.9..|

Die Multiplikation ist m?glich, wenn die Spaltenzahl des 1. Faktors gleich der Zeilenzahl des 2. Faktors ist. In diesem Falle also 2x2-Matrix * 2x1-Matrix = 2x1-Matrix'. Der Algorithmus wird oft wie folgt angewendet:

..................|..4...|
..................|.......|
_____________|_9__|_____
|.2.....3..|..2*4 +.3*9..|
|...........|..................|
|.5......7.|..5*4 + 7*9..|

|.2.....3..|....|.4.|.......|.35.|
|..........|.*.|....|...= .|......|
|.5......7.|....|.9.|.......|.83.|

Verkn?pfung von Lorentztransformationen
Die ?bertragung von Abst?nden aus einem Bezugssystem in ein anderes per LT wird meistens so veranschaulicht:
In einem Ruhesystem BS wird ein Abstand mit x gemessen. In BS bewegt sich ein Bezugssystem BS' mit der Geschwindigkeit v und misst in diesem System den Abstand mit x'. Bei der Verkn?pfung von LTs stellt man sich nunmehr ein weiteres Bezugssystem BS'' vor, welches sich mit der Geschwindigkeit v1 in BS' bewegt.
Will man jetzt die Geschwindigkeit v2 finden, mit welchem sich BS'' im Ruhesystem BS bewegt, so kann man die Formel wie folgt herleiten:

Sverwirrt2,1)=L(2,2)xS(2,1)
S''(2,1)=L'(2,2)xS'(2,1)

S''(2,1)=L'(2,2)xL(2,2)xS(2,1)
Der Algorithmus zur Berechnung des Produktes von L'(2,2)xL( 2,2) ist:
?????.?.......................................|................................................................|
????.??.......................................|............Y1.............................-Y1*?1..........|
???.???.......................................|.................................................................|.
??.????.......................................|??.- Y1*?1.................................Y1?.....?|
___________________________|_________________________________|
|......................................................|?????....?????????.........?............?|
|....Y...................................-Y*?..?|Y*Y1+Y*Y1*?*?1?......?-Y*Y1*?1-Y*Y1*?|
|.......................................................|???.?...???????....................????..|
|- Y*?....................................Y..........|- Y*Y1*?-Y*Y1*?1?.....Y*Y1*?*?1+Y*Y1.|
|.......................................................|?????????...??........................??..?|


C*t??=Y*Y1*(1+?*?1)*c*t-Y*Y1*(?+?1)*x
X??=-Y*Y1*(?+?1)*c*t+Y*Y1*(1+?*?1)*x

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, kann nachfolgend Y2 per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden.
c*t''= y2*c*t-y2*?2*x
x''=-y2*?2*c*t+y2*x
Somit w?rde dann gelten:
Y2=Y*Y1*(1+?*?1)
Hieraus kann v2 errechnet werden.
Man kann auch gleich die Relativistische Addition zur Berechnung von v2 verwenden:
.............v + v1
v2 = _________
.........1 + v*v1/c?
Es soll auch noch erw?hnt werden, dass man zu den gleichen Resultaten kommt, wenn die Gleichungen per Hintereinanderausf?hrung miteinander verkn?pft werden.

mfg

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Nach Georg Cantor (1845 - 191cool

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 30.10.2008 19:13.

30.10.2008 18:59 Gerhard Kemme ist offline Email an Gerhard Kemme senden Homepage von Gerhard Kemme Beiträge von Gerhard Kemme suchen Nehmen Sie Gerhard Kemme in Ihre Freundesliste auf
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