Re: Lorentzgruppe

Die Lorentztransformationen sind ein mathematisches Konstrukt

Zitat:

chris schrieb Vorrausetzungen: Sei <,>_M das Pseudoskalarprodukt des Minkowskiraumes, definiert durch <x,y>_M=x_0 y_0 - x_i y_i (SK) f?r alles x,y in R^4. Sei O(3,1) die Menge der 4x4-Matrizen, die dieses Pseudoskalarprodukt invariant lassen: O(3,1)={A in Mat(4,R) | <A*x,A*y>_M=<x,y>_M f?r alle x,y in R^4}

zu dem man die Behauptung

Zitat:

chris schrieb Behauptung: O(3,1) bildet mit dem Matrizenprodukt eine Gruppe.

aufstellen und diese dann mathematisch beweisen kann:

Zitat:

chris schrieb Beweis: ...

Damit bildet die Darstellung der Lorentz-Transformationen und damit die Lorentz-Transformationen selbst eine Gruppe.

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb Die LT transportieren physikalische Inhalte

Nein. In erster Linie gilt

Zitat:

Sven Binder schrieb Die Lorentztransformationen sind ein mathematisches Konstrukt Zitat: chris schrieb Sei <,>_M das Pseudoskalarprodukt des Minkowskiraumes, definiert durch <x,y>_M=x_0 y_0 - x_i y_i (SK) f?r alles x,y in R^4. Sei O(3,1) die Menge der 4x4-Matrizen, die dieses Pseudoskalarprodukt invariant lassen: O(3,1)={A in Mat(4,R) | <A*x,A*y>_M=<x,y>_M f?r alle x,y in R^4}

In jedem beliebigen Universum, ob mit konstanter Lichtgeschwindigkeit oder nicht, bilden die Lorentz-Transformationen eine Gruppe, da die Definition der Lorentz-Transformation

Zitat:

chris schrieb Sei <,>_M das Pseudoskalarprodukt des Minkowskiraumes, definiert durch <x,y>_M=x_0 y_0 - x_i y_i (SK) f?r alles x,y in R^4. Sei O(3,1) die Menge der 4x4-Matrizen, die dieses Pseudoskalarprodukt invariant lassen: O(3,1)={A in Mat(4,R) | <A*x,A*y>_M=<x,y>_M f?r alle x,y in R^4}

offensichtlich vollkommen unabh?ngig von der Physik ist, denn

Zitat:

Sven Binder schrieb Die Lorentztransformationen sind ein mathematisches Konstrukt

"Relativisten" benutzen die Lorentz-Transformationen zur Transformation zwischen Inertialsystemen. Jetzt kann man, wie in unserem Falle, ja prinzipiell unterschiedlicher Ansicht dar?ber sein, ob die Lorentz-Transformation die korrekte physikalische Transformation zwischen Inertialsystemen ist. Schliesslich steht es jedem frei, wie er die Stichhaltigkeit experimenteller Befunde einsch?tzt.

Aber, und das ist jetzt der entscheidende Punkt (deswegen m?chte ich deutlich darauf hinweisen):

Ob die Lorentz-Transformation die richtige physikalische Transformation zwischen Inertialsystemen ist oder nicht, sie bildet eine Gruppe.

Und genau darum geht es ja (siehe Titel).

Es gr?sst
Sven Binder

Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 02.11.2007 21:21 Uhr: Guten Abend! Zitat: chris schrieb am 31.10.2007 20:01 Uhr: Ich habe in dem PDF, was weiter oben verlinkt ist, eine allgemeine LT konstruiert, scheinbar haben sie es nicht gelesen. Das w?re ein teurer Link geworden.

H?? Der ist doch kostenlos. Einfach nach unten scrollen und auf "free" clicken. Bei funktionierts jedenfalls. Wenn Sie wollen, kann ich ihnen die Datei auch schicken.

Zitat:

Durch die Benutzung der Begriffe Geschwindigkeit v, Lichtgeschwindigkeit c, Zeit t wird der Nachweis der Gruppeneigenschaft von Anfang an, eine physikalische Angelegenheit, so dass auch entsprechende physikalische Definitionen vorgenommen werden m?ssen, z.B. was physikalisch unter einer LT, d.h. einem "Element" der "Menge der LTn" verstanden wird. Will man dies umgehen, dann hat man die "LT" mit sonstigen Allgemeinen Zahlen zu schreiben - ohne physikalischen Bezug: Statt x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?) dann m'=(m - n*o)/sqrt[1 - n?/(3*10^?]

Die Begriffe werden in Cris' Beweis nicht genutzt. Es kommen nur t, und x vor, die jedoch zun?chst einfach als Koordinaten auf einem vierdimensionalen Vektorraum aufgefasst werden k?nnen. Zun?chst ohne physikalischen Hintergrund. Die einzige "physikalische" Frage ist, ob die LTs, die ganz klar eine Gruppe bilden, geeignet sind, um einen Wechsel zwischen zwei Inertialsystemen zu beschreiben.

LG Wolfi

Re: Lorentzgruppe

Guten Tag!

Zitat:

Sven Binder schrieb am 03.11.2007 16:53 Uhr: Die Lorentztransformationen sind ein mathematisches Konstrukt

Da es sich bei den "Elementen" der "Menge", welche der behaupteten Gruppeneigenschaft der LTn zugrundeliegt, um 4x4-Matrizen handelt, deren a_i_k, d.h. deren Komponenten, die Geschwindigkeitsgr??en v und c enthalten - wobei die Variablen f?r x, y, z, und t definiert sind - handelt es sich ganz eindeutig um eine physikalische Anwendung. Somit kommt es durchaus auf die physikalische Korrektheit bereits der einzelnen LT an.
Wer ausschlie?lich mathematisch eine Gruppe nachweisen will, kann andere Variablen und Konstanten w?hlen und dann den "nur" mathematischen Nachweis f?hren.

MfG Gerhard Kemme

__________________
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191

Re: Lorentzgruppe

Guten Tag!

Zitat:

Wolfi schrieb am 05.11.2007 16:09 Uhr: Zitat: Durch die Benutzung der Begriffe Geschwindigkeit v, Lichtgeschwindigkeit c, Zeit t wird der Nachweis der Gruppeneigenschaft von Anfang an, eine physikalische Angelegenheit, so dass auch entsprechende physikalische Definitionen vorgenommen werden m?ssen, z.B. was physikalisch unter einer LT, d.h. einem "Element" der "Menge der LTn" verstanden wird. Will man dies umgehen, dann hat man die "LT" mit sonstigen Allgemeinen Zahlen zu schreiben - ohne physikalischen Bezug: Statt x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?) dann m'=(m - n*o)/sqrt[1 - n?/(3*10^?] Die Begriffe werden in Cris' Beweis nicht genutzt. Es kommen nur t, und x vor, die jedoch zun?chst einfach als Koordinaten auf einem vierdimensionalen Vektorraum aufgefasst werden k?nnen. Zun?chst ohne physikalischen Hintergrund. Die einzige "physikalische" Frage ist, ob die LTs, die ganz klar eine Gruppe bilden, geeignet sind, um einen Wechsel zwischen zwei Inertialsystemen zu beschreiben.

Wie gesagt, es wird ja auch bestritten, dass es sich um einen Beweis handelt. Es werden als LTn 4x4-Matrizen erw?hnt - solche m?ssen, wenn ein Beweis Anerkennung finden soll, auch mal mit den Komponenten notiert werden - vor Ort: Hier!. Diese Matrizen enthalten physikalische Gr??en und zielen auf physikalische Zusammenh?nge von Ort und Zeit. Im Prinzip wirkt es so, dass hier die Mathematik nur als "Trojanisches Pferd" benutzt werden soll, um falsche physikalische Inhalte ?ber richtige Mathematik zu verbreiten.
Wer mathematisch einen Gruppennachweis bez?glich solcher 4x4-Matritzen f?hren will, sollte ganz und gar auf physikalische Gr??en verzichten. Allerdings k?me er auch dann um die explizite Nennung des einzelnen "Elementes" nicht herum.

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Man verwendet in den seltensten F?llen die konkrete Matrix-Darstellung von bestimmten Gruppen, ganz einfach weil diese viel zu un?bersichtlich sind. Die k?nnen ja mal die Matrix f?r eine allgemeine Lorentztransformation ausrechnen, ich w?rde es allerdings nicht ohne CAS versuchen. Dann sehen sie, dass sie garnichts mehr sehen. Gl?cklicherweise ist das auch garnicht n?tig, da sich der Beweis, mathematisch elegant, dass heisst nur mithilfe der definierenden Eigenschaft, also der Invarianz des Minkowski-Pseudoskalarproduktes f?hren l?sst. Dies wurde hier gezeigt. Damit kann ich mich meinen Vorrednern nur anschlie?en:
Unabh?ngig von ihrer physikalischen Relevanz bilden die LT eine Gruppe. Nichts anderes ist hier behauptet worden und genau dies wurde gezeigt.

__________________
Es gibt wohl Gr?nde, dass es mehr Sekret?rInnen als PhysikerInnen gibt.

Re: Lorentzgruppe

Guten Abend!

Zitat:

David Lie schrieb am 05.11.2007 21:20 Uhr: Man verwendet in den seltensten F?llen die konkrete Matrix-Darstellung von bestimmten Gruppen, ganz einfach weil diese viel zu un?bersichtlich sind.

Es handelt sich bei den Elementen der Menge der LTn um 4x4-Matrizen, das sind 4 Zeilen und 4 Spalten - das ist schreibtechnisch sehr wohl machbar.

Zitat:

David Lie schrieb am 05.11.2007 21:20 Uhr: Die k?nnen ja mal die Matrix f?r eine allgemeine Lorentztransformation ausrechnen,

Was an einer Matrix ausgerechnet werden soll, entzieht sich meiner Kenntnis.

Zitat:

David Lie schrieb am 05.11.2007 21:20 Uhr: Dann sehen sie, dass sie garnichts mehr sehen. Gl?cklicherweise ist das auch garnicht n?tig, da sich der Beweis, mathematisch elegant, dass heisst nur mithilfe der definierenden Eigenschaft, also der Invarianz des Minkowski-Pseudoskalarproduktes f?hren l?sst. Dies wurde hier gezeigt. Damit kann ich mich meinen Vorrednern nur anschlie?en: Unabh?ngig von ihrer physikalischen Relevanz bilden die LT eine Gruppe. Nichts anderes ist hier behauptet worden und genau dies wurde gezeigt.

N?tig ist, dass mathematisch physikalische Behauptungen klar und deutlich formuliert werden. Die Notation einiger mathematischer K?rzel hat keinerlei ?berzeugungskraft, wenn es um physikalische Sachverhalte geht. Niemand kann einen SRT-Anh?nger dazu zwingen seine Behauptung, dass die Lorentztransformationen mit Operation eine Gruppe darstellen, detailliert hinzuschreiben. Umgekehrt wird es dann eben an Anerkennung der Behauptung mangeln.

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 05.11.2007 23:38 Uhr: Es handelt sich bei den Elementen der Menge der LTn um 4x4-Matrizen, das sind 4 Zeilen und 4 Spalten - das ist schreibtechnisch sehr wohl machbar.

Die Matrix-Darstellung einer allgemeinen Lorentztransformation mit den 6 Parametern: Boostgeschwindigkeiten entang der Koordinatenachsen und Drehwinkel um die Koordinatenachsen, d?rfte kaum auf eine DIN-A4-Seite passen...

Wenn sie die Matrix-Darstellung einer einzigen bestimmte Lorentztransformation sehen wollen, bitte sch?n:
|1 0 0 0|
|0 1 0 0|
|0 0 1 0|
|0 0 0 1|
Dies ist die Matrix-Darstellung der identischen Abilldung, die trivialer Weise eine Lorentztransformation ist (n?mlich die, bei der alle Paramter gleich null sind).

Zitat:

David Lie schrieb am 05.11.2007 21:20 Uhr: Was an einer Matrix ausgerechnet werden soll, entzieht sich meiner Kenntnis.

Muss ich das verstehen?

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 05.11.2007 23:38 Uhr: N?tig ist, dass mathematisch physikalische Behauptungen klar und deutlich formuliert werden. Die Notation einiger mathematischer K?rzel hat keinerlei ?berzeugungskraft, wenn es um physikalische Sachverhalte geht. Niemand kann einen SRT-Anh?nger dazu zwingen seine Behauptung, dass die Lorentztransformationen mit Operation eine Gruppe darstellen, detailliert hinzuschreiben. Umgekehrt wird es dann eben an Anerkennung der Behauptung mangeln.

Wie schon weiter oben gesagt, die LT bilden auch nicht Universen, in denen die SRT/ART nicht gelten, eine Gruppe... Es schreibt einfach niemand hin, weil es viel zu aufwendig ist. F?r konkrete Berechnungen dreht man sich sein Koordinatensystem n?mlich immer so hin, dass die Vorg?nge nach M?glichkeit Achsenparallel sind (ia. macht man es sich so einfach, dass sie parallel zu x-Achse sind), dann wird die ganze Sache auch realisierbar, aber f?r den mathematischen Beweis, braucht man eine beliebige LT, und das ist richtig h?sslich.

Die Matrix-Darstellung eines Boosts in x-Richtung ist im ?brigen:
|\gamma -\beta \gamma 0 0|
|-\beta \gamma \gamma 0 0|
| 0 0 1 0|
| 0 0 0 1|
wobei \gamma=1/sqrt{1-v^2/c^2} und \beta=v/c ist.

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Re: Lorentzgruppe

Guten Tag!

Dann nocheinmal zusammengefasst die Darstellung einer Lorentztransformation mit einigen Erl?uterungen, damit eventuelle Ungereimtheiten besprochen werden k?nnen.

Es handelt sich um 4x4-Matrizen mit den Variablen
|.c*t.|..x..|..y..|..z..|
Diese Variablen muss man sich quasi ?ber den Matrix-Spalten denken.

Als Ergebnis kommt der Spaltenvektor:
|c*t'.|
|..x'..|
|..y'..|
|..z'..|
heraus.

Wie von David Lie bereits dargestellt, sieht die eigentliche Matrix dann wie folgt aus:

|........gamma.......|.. - Beta*gamma..|...0...|...0...|
|. - Beta*gamma..|........gamma........|...0...|...0...|
|............0.............|.............0.............|...1...|...0...|
|............0.............|.............0.............|...0...|...1...|

Wie bereits gesagt: Beta=v/c und gamma=1/sqrt(1-v?/c?).

Somit ergibt sich ohne Matrix das Gleichungssystem:

t' = [t - (v/c?)*x]/sqrt(1 - v?/c?)
x' = [x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
y' = y
z' = z

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 19:05 Uhr: Es handelt sich um 4x4-Matrizen mit den Variablen |..t..|..x..|..y..|..z..| Diese Variablen muss man sich quasi ?ber den Matrix-Spalten denken.

Nein. Die Variablen, besser die Paramter, dieser Matrizen sind die Boostgeschwindigkeiten entlang um die Drehwinkel und die Koordinatenachsen. Und das sind offensichtlich sechs.

Das was sie dahinschreiben passiert, wenn man eine LT auf einen Vierer-vektor anwendet, gut. Das hat aber mit den Gruppeneigenschaft exakt nichts zu tun. Insbesondere sind die Matrizen (physikalisch) dimensionslos, da weder \gamma noch \beta eine Einheit haben. Deswegen verstehe ich nicht, was diese Rechnung hier nun zu suchen hat...

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von David Lie am 06.11.2007 18:18.

Re: Lorentzgruppe

Guten Abend!

Zitat:

David Lie schrieb am 06.11.2007 18:18 Uhr: Zitat: Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 19:05 Uhr: Es handelt sich um 4x4-Matrizen mit den Variablen |..t..|..x..|..y..|..z..| Diese Variablen muss man sich quasi ?ber den Matrix-Spalten denken. Nein. Die Variablen, besser die Paramter, dieser Matrizen sind die Boostgeschwindigkeiten entlang um die Drehwinkel und die Koordinatenachsen. Und das sind offensichtlich sechs.

Bei einer Debatte in einem Forum w?re es sicherlich nicht schlecht die einfachsten Formen erstmal zu bevorzugen, bevor man allgemeinere Ausdr?cke verwendet. Eine 4x4-Matrix hat, wenn ich es richtig sehe, vier Variablen oder Parameter: t, x, y, z,
Auf der folgenden Site unten ist eine solche Matrix abgebildet:
http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_l06.html

Zitat:

David Lie schrieb am 06.11.2007 18:18 Uhr: Das hat aber mit den Gruppeneigenschaft exakt nichts zu tun.

Man kann nicht den zweiten Schritt vor dem ersten gehen. Insofern ging es erstmal darum eine LT zu notieren, damit ein Objekt zur Diskussion steht. Dann wird vermutlich von manchem RT-Anh?nger die Behauptung aufgestellt, dass es sich hierbei um ein Element der Menge der LTn handelt.
Eine erste mathematische Anmerkung hierzu w?re, dass v < c sein muss, sonst bekommt man auf jeden Fall ein nicht definiertes Gamma, was zur Folge h?tte, dass dann die gesamte LT kein Element einer Menge sein k?nnte.

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 20:47 Uhr: Bei einer Debatte in einem Forum w?re es sicherlich nicht schlecht die einfachsten Formen erstmal zu bevorzugen, bevor man allgemeinere Ausdr?cke verwendet. Eine 4x4-Matrix hat, wenn ich es richtig sehe, vier Variablen oder Parameter: t, x, y, z, Auf der folgenden Site unten ist eine solche Matrix abgebildet: http://www.mpe.mpg.de/~amueller/lexdt_l06.html

Also eine beliebige 4x4-Matrix M hat 16 Parameter, n?mlich jeden Eintrag M_ij. Da die Darstellungsmatrizen der LT aber bestimmte Bedingungen erf?llen m?ssen, reduziert sich das auf die genannten 6. Das hat aber nichts mit irgendwelchen Raum-Zeit-Koordinaten zu tun. (Ich nehme mal an, dass bei ihnen t die Zeit und x,y,z die Ortskoordinaten eine Punktes in der Raumzeit sind), da die Matrizen offen sichtlich keine Elemente der R^4 sind. Sie k?nnen mithilfe der Matrizen nat?rlich die Transformationsgleichung f?r die Koordinaten herleiten, das ist aber etwas anderes und bedeutet nicht, dass diese Koordinaten die Variablen der LT sind!

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 20:47 Uhr: Man kann nicht den zweiten Schritt vor dem ersten gehen. Insofern ging es erstmal darum eine LT zu notieren, damit ein Objekt zur Diskussion steht. Dann wird vermutlich von manchem RT-Anh?nger die Behauptung aufgestellt, dass es sich hierbei um ein Element der Menge der LTn handelt.

Ich habe doch ein Beispiel hingeschrieben, also wo ist das Problem?

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 20:47 Uhr: Eine erste mathematische Anmerkung hierzu w?re, dass v < c sein muss, sonst bekommt man auf jeden Fall ein nicht definiertes Gamma, was zur Folge h?tte, dass dann die gesamte LT kein Element einer Menge sein k?nnte.

Ja.... und? (Ausserdem muss es erstmal nur ungleich c sein)

EDIT:
Eine Matrix eines Boosts in beliebige Richtung findet sich ?brigens hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
Das m?ssen sie dann noch mit einer beliebigen Drehmatrix
|1 0|
|0 D|
multiplizieren, dann erhalten sie eine beliebige LT. (Ein Ausdruck f?r D, findet man zB. dort: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix ). Das k?nnen sie ja mal durch ein CAS werfen (oder auch von Hand ausrechnen), dann werden sie sehen, warum niemand den Beweis mit einer solchen Darstellung f?hrt (das Ganze wird etwas un?bersichtlich).

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von David Lie am 06.11.2007 20:09.

Re: Lorentzgruppe

Guten Abend!
Ein Element w?rde dann aus der obigen 4x4-Matrix mit Nennung der Variablen [ct; x; y; z) und deren Abbildungen [ct'; x; y; z] bestehen. Hinzu k?me dann noch ein ganzer Apparat von Voraussetzungen:
Dies beginnt damit, dass die Gleichungen f?r Beta und Gamma genannt sein m?ssen. Dann k?me die erw?hnte Einschr?nkung des Definitionsbereiches v < c bzw. v <> c. Nunmehr m?ssen irgendwelche Erl?uterungen erfolgen, wie das ganze gemeint ist. Es soll ja eine Umrechnung von einem Koordinatensystem auf ein anderes erfolgen, welches sich mit der Geschwindigkeit v bez?glich des erw?hnten KO-Systems bewegt. Erw?hnt werden muss an dieser Stelle, dass keine Anfangsgeschwindigkeit vorhanden sein darf, weil dann v wiederum eine h?here Geschwindigkeit als c haben k?nnte. Dies w?ren nur einmal erste Anmerkungen zur behaupteten Elementeigenschaft einer LT.

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.11.2007 20:54 Uhr: Guten Abend! Ein Element w?rde dann aus der obigen 4x4-Matrix mit Nennung der Variablen [ct; x; y; z) und deren Abbildungen [ct'; x; y; z] bestehen. Hinzu k?me dann noch ein ganzer Apparat von Voraussetzungen: Dies beginnt damit, dass die Gleichungen f?r Beta und Gamma genannt sein m?ssen. Dann k?me die erw?hnte Einschr?nkung des Definitionsbereiches v < c bzw. v <> c. Nunmehr m?ssen irgendwelche Erl?uterungen erfolgen, wie das ganze gemeint ist. Es soll ja eine Umrechnung von einem Koordinatensystem auf ein anderes erfolgen, welches sich mit der Geschwindigkeit v bez?glich des erw?hnten KO-Systems bewegt. Erw?hnt werden muss an dieser Stelle, dass keine Anfangsgeschwindigkeit vorhanden sein darf, weil dann v wiederum eine h?here Geschwindigkeit als c haben k?nnte. Dies w?ren nur einmal erste Anmerkungen zur behaupteten Elementeigenschaft einer LT. MfG Gerhard Kemme

Ist alles nicht notwendig. Eine LT war ja per Definition eine Abbildung, welche die Minkowski-metrik invariant l?sst. Da dies bei v=c nicht der Fall ist, gibts auch keine entsprechende LT (sie w?re auch gar nicht definiert). Und - wie gesagt - man kann den Beweis auch g?nzlich ohne Geschwindigkeiten oder irgendwelche physikalischen Bez?ge durchf?hren. LTs sind zun?chst einfach nur Abbildungen. Abbildungen, welche die obige Bedingung erf?llen. Sagen Sie, was an dieser Definition nicht eindeutig ist.

?brigens gibts etwas ?hnliches auch im dreidimensionalen euklidischen Raum. Die Gruppe SO(3) ist die Menge aller Abbildungen, welche die euklidische Metrik erhalten. Die Elemente sind dadurch ebenfalls eindeutig definiert (es sind Drehungen). Und die Menge ist eine Gruppe. Oden denken Sie da auch anders?

LG Wolfi

Re: Lorentzgruppe

----- gel?scht von J. Lopez ----------


Versuche es noch einmal ohne Polemik, David Lie, oder wie Du hei?t.
Vielleicht schaffst Du es noch.

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 07.11.2007 09:11.

Re: Lorentzgruppe

Guten Abend!

Zitat:

Wolfi schrieb am 06.11.2007 21:52 Uhr: Eine LT war ja per Definition eine Abbildung, welche die Minkowski-metrik invariant l?sst.

Dies w?re eine sehr allgemeine pauschale Definition. Im Prinzip handelt es sich um ein Gleichungssystem, d.h. um vier physikalische Formeln.

Zitat:

Wolfi schrieb am 06.11.2007 21:52 Uhr: Da dies bei v=c nicht der Fall ist, gibts auch keine entsprechende LT (sie w?re auch gar nicht definiert).

Um solche Definiertheit geht es ja insgesamt. Wenn du von "nicht definiert" sprichst, dann erkennst du mathematische Gegebenheiten wie "1/0 ist nicht definiert" an. Parallel sollten aber auch physikalische Aussagen als "zul?ssig" und "unzul?ssig" bezeichnet werden k?nnen. Das beginnt dann mit einem klaren Anwendungsbeispiel einer LT, so dass die Verwendung der Lichtgeschwindigkeit in der Formel anhand eines Versuchsaufbaus etc. verst?ndlich erl?utert wird.

Zitat:

Wolfi schrieb am 06.11.2007 21:52 Uhr: Und - wie gesagt - man kann den Beweis auch g?nzlich ohne Geschwindigkeiten oder irgendwelche physikalischen Bez?ge durchf?hren.

Die Formelzeichen sind nun einmal v, c, x, y, z, t, d.h. es handelt sich um physikalische Gr??en und die LTn sind untrennbar mit der Fachwissenschaft Physik verkn?pft.

Zitat:

Wolfi schrieb am 06.11.2007 21:52 Uhr: LTs sind zun?chst einfach nur Abbildungen. Abbildungen, welche die obige Bedingung erf?llen. Sagen Sie, was an dieser Definition nicht eindeutig ist.

Es stellt einen gro?en Unterschied dar, ob ich x=y*100/z schreibe oder PS=PW*100/GW (Prozentformel), d.h. im zweiten Fall hat diese Gleichung im Rahmen der Revision der Buchf?hrung eines Wirtschaftsbetriebes eine f?r Menschen v?llig andere Bedeutung.

Zitat:

Wolfi schrieb am 06.11.2007 21:52 Uhr: ?brigens gibts etwas ?hnliches auch im dreidimensionalen euklidischen Raum. Die Gruppe SO(3) ist die Menge aller Abbildungen, welche die euklidische Metrik erhalten. Die Elemente sind dadurch ebenfalls eindeutig definiert (es sind Drehungen). Und die Menge ist eine Gruppe. Oden denken Sie da auch anders?

Die Zuordnung der Eigenschaft, (mathematische) Gruppe zu sein, stellt die Ausweitung des Anwendungsbereiches einer mathematischen Struktur dar, deshalb muss die Grundlegung, d.h. als allererstes die Eigenschaft Element einer (Gruppen-)Menge zu sein, ?berpr?ft werden. Insofern w?re die Angabe konkreter Beispiele f?r Anordnungen, auf die sich einzelne LTn beziehen sollen, sehr hilfreich.

MfG Gerhard Kemme

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Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.12.2007 21:11 Uhr: Dies w?re eine sehr allgemeine pauschale Definition. Im Prinzip handelt es sich um ein Gleichungssystem, d.h. um vier physikalische Formeln.

Nein. Eine Abbildung bildet ein Element einer Menge ein Element einer anderen Menge ab. In diesem speziellen Fall sind diese Mengen gleich und enthalten 4-dimensionale Vektoren, weshalb man aus der Abbildung (bzw. deren Matrix) die Abbildungen f?r die 4 Komponenten der Vektoren herleiten kann. Da man aber die definierende Eigenschaft der Abbildung kennt, braucht man sich dar?ber aber erstmal keinen Kopf zu machen, wenn man andere Eigenschaften dieser Abbildungen beweisen m?chte.

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.12.2007 21:11 Uhr: Die Zuordnung der Eigenschaft, (mathematische) Gruppe zu sein, stellt die Ausweitung des Anwendungsbereiches einer mathematischen Struktur dar, deshalb muss die Grundlegung, d.h. als allererstes die Eigenschaft Element einer (Gruppen-)Menge zu sein, ?berpr?ft werden. Insofern w?re die Angabe konkreter Beispiele f?r Anordnungen, auf die sich einzelne LTn beziehen sollen, sehr hilfreich.

Also wenn ich zeigen will, dass die Menge aller Matrizen, die das Minkowskiskalarprodukt invariant lassen, eine Gruppe bilden, dann muss ich erst zeigen, dass sie Element der Menge aller Matrizen sind, die das Minkowskiskalarprodukt invariant lassen? - Man k?nnte fast sagen, dass diese Menge ?ber diese Eigenschaft definiert ist. Da ist also nichts zu zeigen...

Re: Lorentzgruppe

Guten Abend!

Zitat:

Werner-2 schrieb am 06.12.2007 20:30 Uhr: Zitat: Gerhard Kemme schrieb am 06.12.2007 21:11 Uhr: Dies w?re eine sehr allgemeine pauschale Definition. Im Prinzip handelt es sich um ein Gleichungssystem, d.h. um vier physikalische Formeln. Nein.

Du w?rdest also abstreiten, dass die LT etwas mit Gleichungen der Art:

x'=(x-v*t)/sqrt(1-v?/c?)
t'=(t-x*v/c?)/sprt(1-v?/c?)

zu tun hat? Dies waren und sind sehr ?bliche Definitionen f?r die LTn. Selbstverst?ndlich kann ein solches Gleichungssystem auch in Matrixform geschrieben werden.

MfG Gerhard Kemme

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Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 06.12.2007 21:17.

Re: Lorentzgruppe

Nunja. Das sind die, von mir bereits erw?hnten, Transformationgleichungen f?r die einzelnen Komponenten der Vierervektoren. Allerdings ist der Zusammenhang andersrum: Die Lorentztransformationen sind Abbildungen auf dem R^4, die die Minkowskimetrik erhalten. Dies sind linear, man kann sie also isomorph durch Matrizen darstellen. Aus diesen Matrizen kann man dann besagte Transformationsgleichungen ableiten. Wenn ich aber, und das wurde am Anfang dieses Threads ja getan, Aussagen ?ber allgemeine LTen beweisen m?chte, dann braucht man sich um die Transformationgleichung der Komponenten der Vierervektoren nicht zu k?mmern, weil diese eben nicht die LTen sind. Sondern man verwendet nur die definierende Eigenschaft f?r den Beweis.

Re: Lorentzgruppe

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 06.12.2007 21:16 Uhr: Guten Abend! Zitat: Werner-2 schrieb am 06.12.2007 20:30 Uhr: Zitat: Gerhard Kemme schrieb am 06.12.2007 21:11 Uhr: Dies w?re eine sehr allgemeine pauschale Definition. Im Prinzip handelt es sich um ein Gleichungssystem, d.h. um vier physikalische Formeln. Nein. Du w?rdest also abstreiten, dass die LT etwas mit Gleichungen der Art: x'=(x-v*t)/sqrt(1-v?/c?) t'=(t-x*v/c?)/sprt(1-v?/c?) zu tun hat? Dies waren und sind sehr ?bliche Definitionen f?r die LTn. Selbstverst?ndlich kann ein solches Gleichungssystem auch in Matrixform geschrieben werden. MfG Gerhard Kemme

Dies ist nur ein Beispiel f?r eine Lorentztransformation auf ein Koordinatensystem, dass sich in x-Richtung bewegt. Zb w?re dies auch eine Lorentztransformation:
x'=x*cos(phi)+y*sin(phi)
y'=-x*sin(phi)+y*cos(phi)
z'=z
t'=t
Nur als Anmerkung.

Re: Lorentzgruppe

Darstellung der Lorentztransformation in Koordinatenschreibweise:

t'=gamma*t - gamma*v/c? *x
x'= - gamma * v*t + gamma*x
y'=y
z'=z

Nach Multiplikation der 1. Zeile mit c erh?lt man:

c*t'=gamma*c*t - gamma*?eta*x
x'= - gamma * v*t + gamma*x
y'=y
z'=z

Nunmehr Darstellung der Lorentztransformation in Matrixform:
4x4-Matrix * Spaltenvektor = Spaltenvektor


|..gamma..........|.-gamma*?eta.|..0..|..0..|.......|.c*t|........|.c*t'.|
|-gamma*?eta..|.......gamma.....|..0..|..0..|.......|..x..|........|...x'..|
|...........0...........|............0.........|..1..|..0..|...*...|..y..|...=..|...y'..|
|...........0...........|............0.........|..0..|..1..|........|..z..|........|...z'..|
.
Wobei.
gamma=1/sqrt(1-v?/c?)
?eta=v/c

MfG Gerhard Kemme

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"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191

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