LG Invarianz hergeleitet

Das Wesen des Lichtes hat das Ende der klassischen Physik eingeleitet.

- Die Geschwindigkeit des Lichtes ist im Vakuum und bei Feldfreiheit annaehernd konstant.

- Die Lichtgeschwindigkeit ist bewegungsinvariant in Inertialsystemen, d.h. in Bezugssystemen, die sich relativ zueinander gleichfoermig und geradlinig bewegen.

- Licht hat sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.

In diesem Beitrag moechte ich die Bewegungsinvarianz der Lichtgeschwindigkeit c dokumentieren. Sie ist eine der zwei Postulate, auf denen die Spezielle Relativitaetstheorie von Einstein aufgebaut ist.

Licht ist ein elektromagnetisches Phaenomaen. Die Lichtgeschwindigkeit c gilt fuer alle EM-Wellen.

Grundlage fuer den Elektromagnetismus sind die Maxwellschen Gleichungen, die alle empirisch begruendet sind.

Sie lauten:

(1) Bereichsintegral (E dA) = q / epsilon0.
(2) Bereichsintegral (B dA) = 0 (Kommentar: Geschlossene Flaeche)
(3) Kurvenintegral (E dr) = - d/dt Bereichsintegral (B dA)
(4) Kurvenintegral (B dr) = mu0 * I + mu0 * epsilon0 * d/dt Bereichsintegral (E dA)

Was sagen diese Gleichungen aus?

(1) ist eine Gleichung aus der Elektrostatik und besagt, dass wenn ich um die geschlossene Kugelflaeche um eine Punktladung herum ueber die elektrische Feldstaerke E integriere, kommt immer q/epsilon0 heraus, d.h., die durch die Dielektrizitaetskonstante geteilte Ladung.

Aussage: Die Ladung q ist die Quelle des elektrischen Feldes.

(2) besagt, dass wenn ich um eine geschlossene Kurve ueber das Magnetfeld B integriere, kommt 0 heraus. Ist ja klar, die verlaufen ja
ringfoermig um einen Leiter herum, die Feldlinien, die in eine Richtung verlaufen die Flaeche schneiden, kehren also wieder zurueck und heben sich dadurch auf.

Aussage: Das magnetische Feld ist quellenfrei.

(3) ist das Induktionsgesetz. Das Wegintegral ueber die elektrische Feldstaerke definiert die elektrische Spannung. Das Bereichsintegral B ist jetzt nicht ueber eine geschlossene Flaeche integriert, sondern eine beliebige Teilflaeche. Den Wert des Integrals bezeichnet man als den magnetischen Fluss. Eine Aenderung dieses magnetischen Flusses hat die Induktion der Spannung zur Folge, die auf der linken Seite von (3) steht.

Aussage: Ein zeitlich veraenderliches magnetisches Feld erzeugt ein elektrisches Feld.

(4) Ist das Verschiebungsgesetz. Zum einen ergibt der Wert des Wegintegrals (Kurvenintegrals) entlang einer Magnetfeldlinie um einen Leiter herum immer den Wert "Permeabilitaet mal eingeschlossenen Strom", also mu0 * I. Beom Aufladen eines Kondensators waere dies aber widerspruechlich, da zwischen den Platten kein Strom fliesst. Da er jedoch aufgeladen wird, aendert sich as elektrische Feld im Kondensator.
Anstatt Strom habe wird die Aenderung der Ladung ueber eine Zeit durch die Aenderung von E hervorgerufen:

dq/dt = epsilon0 * d/dt Bereichsintegral (E dA),

unter Verwendung der Formel (1). Diesen Ausdruck fuer dq/dt, den ich anstelle des Stroms verwende, heisst auch Verschiebungsstrom. Auch dieser Verschiebungsstrom erzeugt ein Magnetfeld, und das Kurvenintegral ueber diesen Strom ergibt mu0 * Verschiebungsstrom, also
den zweiten Term der rechten Seite von (4).

Aussage: Ein zeitlich veraenderliches elektrisches Feld oder ein Strom erzeugen ein magnetisches Feld.

Die Gleichungen (1) bis (4) lassen sich durch die Saetze von Gauss und Stokes umformen zu

(1') div E = rho/epsilon0 (rho = q/V: Ladungsdichte)
(2') div B = 0
(3') rot E = - dB/dt
(4') rot B = mu0 * j + mu0 * epsilon0 * dE/dt (j = dI/dA: Stromdichte)

Im Vakuum gibt es keine Ladungen und Stroeme, aber EM-Wellen koennen sich doch ausbreiten. Das sieht man, indem ich die entsprechenden
Terme rho und j bzw. q und I zu Null setze:

(1'') div E = 0
(2'') div B = 0
(3'') rot E = -dB/dt
(4'') rot B = mu0 * epsilon0 * dE/dt

E und B erzeugen sich gegenseitig (3'') und (4'') auch im Vakuum. Einsetzen von (4'') in (3'') mit anschliessender Rotorbildung auf beiden Seiten von (3'') ergibt

(5) rot rot E = - d/dt rot B = - (mu0 * epsilon0) * (d^2)E/dt^2

Nach allgemeinen Rechenregeln fuer den Rotoroperator fuer einen Vektor v gilt

rot rot v = grad div v - div grad v

Also kann (5) auch umgeschrieben werden zu

(5') grad div E - div grad E = - (mu0 * epsilon0) * (d^2)E/dt^2

Da div E = 0 (Ladungsfreiheit, siehe (1'')), entfaellt der Term grad div E in (5'), und das Ergebnis ist die Wellengleichung:

(6) div grad E = d^2/dt^2 (mu0 * epsilon0) * dE/dt

(Fortsetzung folgt)

-- Optimist

Re: LG Invarianz hergeleitet

Fortsetzung

Also: Die zeitliche Aenderung des elektrischen Feldes fuehrt zu einer Ortsveraenderung des elektrischen Feldes, und der Verkopplungsfaktor ist hier (mu0 * epsilon0). Fuer B gilt der Zusammenhang analog.

Gleichungen der Form (6) haben Loesungen fuer E, die vom Ort (x als Vektor) und von der Zeit t abhaengen, und zwar in der (reellen) Form

(7) E(x,t) = E0 * sin [2*pi*f*(t - x*{mu0 * epsilon0})]
= E0 * sin [2*pi*f*(t + x*{mu0 * epsilon0})]

Das kann ich natuerlich wieder umschreiben zu

(7') E(x,t) = E0 * sin [2*pi*(t/T - x/lambda)] oder E0 * sin [2*pi*(t/T + x/lambda)]

Der Zusammenhang fuer die Ortsabhaengigkeit in (7) und (7'), naemlich dass lambda*f = 1/(mu0 * epsilon0) gilt, bedeutet, dass es sich hier um die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle handelt.

Interpretation: Der E-Feldvektor benoetigt fuer eine Schwingungsperiode die Zeit T. Die Welle hat sich in dieser Zeit um die Strecke lambda fortgepflanzt. Die Geschwindigkeit c = lambda / T = lambda * f ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der EM Welle.

Wieso ist c bewegungsinvariant?
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In Newtons klassischer Mechanik gilt die Galilei-Transformation, die auch fuer gegen c kleine Geschwindigkeiten heute noch stimmt:

x' = x - v*t
t' = t

Also: Bewegt sich ein Bezugssystem K' relativ zu K mit Geschwindigkeit v in x-Richtung, so wird jede x-Koordinate in K durch Addition (Verschiebung) um v*t auf K' transformiert. Die Zeit ist eine absolute Groesse und von Bewegungen unabhaengig. Geschwindigkeiten addieren sich zu vges = v1 + v2.

Newtons Bewegungsgleichungen sind zu dieser Galileitransformation kovariant.

Das gilt jedoch NICHT fuer elektromagnetische Phaenomaene.

Man stelle sich vor, ein Beobachter wuerde sich mit exakt c entlang des Lichtstrahls bewegen. Die Relativgeschwindigkeit zum Lichtstrahl muesste dann Null sein, der Lichtstrahl also stillstehen (lambda*f = 0).

ABER: Es gibt keine Loesung der Gleichung (6) oder eine Form (7) bzw. (7'), die c = lambda * f = 0 erlaubt. Wellenlaenge und Frequenz sind STETS durch den Ausdruck c = (mu0 * epsilon0) = const.(im Vakuum) verknuepft.

Ein Widerspruch zur Galilei-Transformation und dem Theorem der einfachen Addition von Geschwindigkeiten.

Die Konstanz von c erlaubt aber, dass sich jede Wegstrecke, die mit einem Lichtsignal verbunden wird, duech

( dx1^2 + dx2^2 + dx3^2 = (c*dt)^2

darstellen laesst. Aus diesen Gleichungen laesst sich der Minkowski-Raum ableiten

(9) Lichtsignal: dx1^2 + dx2^2 + dx3^2 + dx4^2 = 0, mit imaginaerem x4 = i*c*t

Daraus wiederum laesst sich die Lorentztransformation und die SRT einfach herleiten.

Dies habe ich hier
(http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/79008,0.html, Beitrag vom 02.08.2006, 2:14 Uhr) getan.

Die Bewegungsinvarianz der Lichtgeschwindigkeit ist also ein relativ leicht nachvollziehbares Faktum, welches sich in der taeglichen Praxis (z.B. funktionierende Teilchenbeschleuniger) als richtig herausstellt.

-- Optimist

Re: LG Invarianz hergeleitet

Zitat:

Optimist71 schrieb am 12.08.2006 22:41 Uhr: (1) Bereichsintegral (E dA) = q / epsilon0. (2) Bereichsintegral (B dA) = 0 (Kommentar: Geschlossene Flaeche) (3) Kurvenintegral (E dr) = - d/dt Bereichsintegral (B dA) (4) Kurvenintegral (B dr) = mu0 * I + mu0 * epsilon0 * d/dt Bereichsintegral (E dA) Was sagen diese Gleichungen aus? (1) ist eine Gleichung aus der Elektrostatik und besagt, dass wenn ich um die geschlossene Kugelflaeche um eine Punktladung herum ueber die elektrische Feldstaerke E integriere, kommt immer q/epsilon0 heraus, d.h., die durch die Dielektrizitaetskonstante geteilte Ladung. Aussage: Die Ladung q ist die Quelle des elektrischen Feldes. (2) besagt, dass wenn ich um eine geschlossene Kurve ueber das Magnetfeld B integriere, kommt 0 heraus. Ist ja klar, die verlaufen ja ringfoermig um einen Leiter herum, die Feldlinien, die in eine Richtung verlaufen die Flaeche schneiden, kehren also wieder zurueck und heben sich dadurch auf. -- Optimist

Hallo, hier muss es "Fl?che" heissen. Der magnetische Fluss in eine geschlossene Fl?che hinein muss auch wieder heraus kommen.

Viele Gr?sse
LeSage

Re: LG Invarianz hergeleitet

LeSage skrev:

Zitat:

Hallo, hier muss es "Fl?che" heissen. Der magnetische Fluss in eine geschlossene Fl?che hinein muss auch wieder heraus kommen. Viele Gr?sse LeSage

Vielen Dank LeSage!

Voellig richtig, selbstverstaendlich muss ich ueber eine geschlossene Flaeche integrieren, und der Wert des Integrals ergibt Null.

-- Optimist