Re: GOM-Projekt: Probleme

Guten Abend!

Zitat:

andi schrieb am 18.08.2007 21:58 Uhr: Zitat: Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 21:48 Uhr: Die Darstellung als Matrix entlastet nicht von der ?berpr?fung der Funktionsgleichungen, da die Komponenten miteinander verkn?pft werden m?ssen, d.h. die Gruppeneigenschaften dieser Verkn?pfung m?ssen nunmehr wieder gepr?ft werden. Autsch...

Also, ich bitte dich. Entweder es werden Lehrbuchdarstellungen notiert - oder nothing.
Wie gesagt, wenn ich 3-Tupel bez?glich der Verkn?pfung /+/ auf die Eigenschaft checken will, Gruppe zu sein, dann muss ich die Gruppeneigenschaft der Verkn?pfung der Komponenten vorraussetzen oder extra ?berpr?fen. Da es sich bei der Hintereinanderausf?hrung der Funktionsgleichungen um keine unstrittigen Verkn?pfungen handelt, kommt man um die Einzelheiten nicht herum.
MfG Gerhard Kemme

__________________
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191

Re: GOM-Projekt: Probleme

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 22:11 Uhr: Guten Abend! Zitat: andi schrieb am 18.08.2007 21:58 Uhr: Zitat: Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 21:48 Uhr: Die Darstellung als Matrix entlastet nicht von der ?berpr?fung der Funktionsgleichungen, da die Komponenten miteinander verkn?pft werden m?ssen, d.h. die Gruppeneigenschaften dieser Verkn?pfung m?ssen nunmehr wieder gepr?ft werden. Autsch... Also, ich bitte dich. Entweder es werden Lehrbuchdarstellungen notiert - oder nothing. Wie gesagt, wenn ich 3-Tupel bez?glich der Verkn?pfung /+/ auf die Eigenschaft checken will, Gruppe zu sein, dann muss ich die Gruppeneigenschaft der Verkn?pfung der Komponenten vorraussetzen oder extra ?berpr?fen. Da es sich bei der Hintereinanderausf?hrung der Funktionsgleichungen um keine unstrittigen Verkn?pfungen handelt, kommt man um die Einzelheiten nicht herum. MfG Gerhard Kemme

Nicht wirklich. Zum Beispiel kann eine Menge von Matrizen bez?glich Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden. Dies muss dennoch nicht f?r deren einzelnen Komponenten gelten (die reelen Zahlen). Zb besitzt die Null kein inverses Element bez?glich der Multiplikation. Dennoch darf sie in der Matrix enthalten sein.

Re: GOM-Projekt: Probleme

Zitat:

Gerhard Kemme schrieb am 18.08.2007 22:11 Uhr: Also, ich bitte dich. Entweder es werden Lehrbuchdarstellungen notiert - oder nothing. Wie gesagt, wenn ich 3-Tupel bez?glich der Verkn?pfung /+/ auf die Eigenschaft checken will, Gruppe zu sein, dann muss ich die Gruppeneigenschaft der Verkn?pfung der Komponenten vorraussetzen oder extra ?berpr?fen. Da es sich bei der Hintereinanderausf?hrung der Funktionsgleichungen um keine unstrittigen Verkn?pfungen handelt, kommt man um die Einzelheiten nicht herum. MfG Gerhard Kemme

Vor:
Sei M die Menge aller 3-Tupel (a,b,c) mit a,b,c in R. Sei # eine Verkn?pfung auf M gegeben durch: (a,b,c)#(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) mit "+" der Addition der reellen Zahlen.

Beh:
(M,#) ist eine Gruppe.

Bew:
Abgeschlossenheit:
(a,b,c)#(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) in M
Neutrales Element:
(a,b,c)#(0,0,0)=(a+0,b+0,c+0)=(a,b,c)=(0+a,0+b,0+c)=(0,0,0)#(a,b,c)
Assoziativit?t:
(a,b,c)#[(d,e,f)#(g,h,i)]=(a,b,c)#(d+g,e+h,f+i)=(a+(d+g),b+(e+h),c+(f+i))
=((a+d)+g,(b+e)+h,(c+f)+i)=(a+d,b+e,c+f)#(g,h,i)=[(a,b,c)#(d,e,f)]#(g,h,i)
Inverses Element:
(a,b,c)#(-a,-b,-c)=(a-a,b-b,c-c)=(0,0,0)
q.e.d

Ok. Die Menge aller 3-Tupel (a,b,c) mit a,b,c reellen Zahlen ist ein Gruppe. Und nun!?

Re: GOM-Projekt: Probleme

Guten Abend!
Matrixschreibweise bezogen auf den Minkowski-Raum oder Funktionsgleichungen bezogen auf kartesische Koordinatensysteme? Das ist hier eine Frage. Wenn eine Debatte stattfindet, dann kann man kaum zwei Notationen, die auch einen ziemlich anderen Denkhintergrund haben, gleichzeitig verwenden. Allerdings wird sich dies wohl nicht vermeiden lassen.
Ich bevorzuge jedenfalls die Darstellung
x'=gamma*(x-vt),
mit
gamma=1/sqrt(1-v?/c?),
weil hier anschauliche Bez?ge herstellbar sind, d.h. ich fange erstmal damit an:
Wie gesagt, beschreibt
x'=(x - v*t)/sqrt(1 - v?/c?)
die Transformation der x-Koordinate. Wobei ich die Transformationen von y, z und t au?en vor lasse.
Diese Transformation wurde von A.E. benutzt und dr?ckt aus, dass ein Objekt X im Ruhesystem den Abstand x zum Ursprung hat. Ein zweites Bezugssystem bewegt sich mit der Geschwindigkeit v gegen?ber dem Ruhesystem. Wobei eine Abstandsmessung zum Objekt X - z.B. mit Hilfe eines Radarstrahls - vorgenommen wird, der in der Zeit t das Objekt erreicht und dessen Abstand x' - irgendwie - als Wert ?bermittelt, d.h. x' kann auch einfach rechnerisch mit der Formel bestimmt werden.
An dieser Stelle entstehen einige Fragen bez?glich des Themas.
Wird die Formel f?r x' als Teil einer LT genommen, so unterscheiden sich die "Elemente" nur durch die Geschwindigkeit v, d.h. aus welcher (Zahlen-)Menge soll jetzt v sein? Es w?re physikalisch ziemlich sinnfrei einfach IR zu nehmen.
Die Vorraussetzungen f?r einen solchen Beweis sollten sich auch immer auf das Physikalische beziehen, d.h. bei der Messung von mehreren Objekten, darf keine Pause eintreten, weil sonst - wie gesagt - pl?tzlich keine Transitivit?t mehr vorhanden ist.
Es kommt bei der Verkn?pfung von LT nur die Hintereinanderausf?hrung in Frage, welche so angeordnet sein muss, dass wiederum das Ruhesystem mit dem Objekt X vorhanden ist, in dem bewegt sich ein zweites System mit v - nun kommt ein drittes hinzu, z.B. mit v und man will den Wert von x'' (die T?ttelchen nur Kennzeichnung) direkt aus x errechnen k?nnen.
Hier kriegt man allerdings mit den Geschwindigkeiten wieder gro?e Probleme, da man mit v=2/3*c und v=1/2*c dann doch wieder ?berlichtgeschwindigkeit h?tte. Genau der gleiche Effekt tritt auf, wenn - was bei Verkn?pfungen ?blich ist - man diese mehrmals anwendet, so dass doch pl?tzlich die LG ?berschritten wird.
Dies sollten nur erste Anmerkungen und Einf?lle zur Problematik sein.
MfG Gerhard Kemme

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"Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen."
Nach Georg Cantor (1845 - 191

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Gerhard Kemme am 20.08.2007 23:22.

Re: GOM-Projekt: Probleme

Dass die Menge der LT eine Gruppe ist, ist bewiesen. Dass sie den Minkowski-formalismus nicht bevorzugen, ist kein Argument, da die beiden mathematisch ?quivalent sind. Oder gibt es ein Beispiel, wo Einstein und Minkowski-Formalismen andere Ergebnisse f?r ein physikalisches Problem liefern w?rden?

Zitat:

Wird die Formel f?r x' als Teil einer LT genommen, so unterscheiden sich die "Elemente" nur durch die Geschwindigkeit v, d.h. aus welcher (Zahlen-)Menge soll jetzt v sein? Es w?re physikalisch ziemlich sinnfrei einfach IR zu nehmen.

Warum? v ist eine Geschwindigkeit und als solche eine reele Zahl. Allerdings vergessen Sie etwas. Lorentztransformationen sind nicht nur Lorentz-boosts, sondern zb auch Drehungen. Dh auch der Ausdruck:
x'=x.cos(phi)-y.sin(phi)
y'=y.cos(phi)+x.sin(phi)
z'=z
t'=t
... ist eine Lorentztransformation. Eine LT ist per Definition einfach eine lineare Transformation, die die Metrik des Minkowski-raumes nicht ver?ndert.

Zitat:

Hier kriegt man allerdings mit den Geschwindigkeiten wieder gro?e Probleme, da man mit v=2/3*c und v=1/2*c dann doch wieder ?berlichtgeschwindigkeit h?tte. Genau der gleiche Effekt tritt auf, wenn - was bei Verkn?pfungen ?blich ist - man diese mehrmals anwendet, so dass doch pl?tzlich die LG ?berschritten wird. Dies sollten nur erste Anmerkungen und Einf?lle zur Problematik sein.

Auch das stimmt nicht. Denn die Hintereinanderschaltung von zwei LTs mit Geschwindigkeiten v und w entspricht wieder einer einziger LT, allerdings nicht mit Geschwindigkeit v+w, sondern: (v+w)/(1+vw/c^2), die ber?hmte Additionsformel. Kann man leicht nachpr?fen. Ich kanns gerne mal ins Forum stellen, wenn Sie wollen.

LG Wolfi