Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Das ist ja interessant

Ebenfalls auf Wikipedia findet sich folgender Artikel, in welchem die Richtigkeit von "0^0=1" mit dem binomischen Satz begründet wird :

http://de.wikipedia.org/wiki/Null#Potenzrechnung

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Hallo zusammen,

Hier möchte ich auch meine eigenen Überlegungen über das Problem des natürlichen Zahlenstrahls mitteilen, die ich schon in einem anderen Thread dargelegt habe, die aber in diesem Thread besser passen:

Ich finde es nämlich künstlich und auch trügerisch, die 0 als Mittelpunkt des Zahlenstrahls zu sehen, wie ein Physiklehrer es in einem Forum behauptet hat. Sie ist es in meinen Augen keinesfalls.

- Die 0 ist "Nichts" bzw. die Abwesenheit von Information in der Realität.

- Die 1 ist "Etwas" bzw. eine (implizite oder explizite) Definition, die den Sinn des Zahlenstrahls in der Realität wiedergeben soll (Apfel, 2, 3, 4...).

- Negativzahlen sind künstlich, sie existieren nicht in der Realität.


Für mich sind also die Zahlen 0 und 1 gar keine Zahlen und die natürliche Zahlen fangen wie gesagt bei 2 an, da die Zahl 1 nur ein Platzhalter für eine explizite Definition in einer natürlichen Sprache ist, also sich außerhalb der mathematischen Sprache befindet. Man kann nämlich nur anfangen zu zählen, wenn man etwas zu zählen hat und wenn man es auch bezeichnet: Apfel, 2, 3, 4… ist der natürlichen Zahlenstrahl.

Auch die Zahl 0 sehe ich in der Mathematik nur als Werkzeug und als Einführung einer unendlichen Unterteilung zwischen den natürlichen Zahlen. Die Unendlichkeit steht zwischen den natürlichen Zahlen, jedoch nur abstrakt und naturfremd.

Eine Aussage wie 0,52 Apfel oder wie 3,7 Kinder kann die Entfremdung der Zahl 0 aus der Natur verdeutlichen und ihre Werkzeugsfunktion ersichtlich machen (Unterteilung).

Darüber hinaus ist nicht nur alleine die Vorstellung eines 0,52 Apfels für uns schwer nachvollziehbar, sie sollte eigentlich auch nicht mathematisch darstellbar sein:

Wir wissen nämlich nicht aus wie vielen Unterteilungen ein (100%) Apfel besteht. Aus wie vielen Zellen, Molekülen, Atomen, Teilchen besteht ein Apfel? Wir können also weder Apfel noch Mensch 100% mathematisch festlegen und definieren. Das ist jeweils eine unbekannte Zahl x. Dementsprechend sind Aussagen nonsens und völlig realitätsfremd, die eine unbekannte Zahl x unterteilen, wie z.B. 0,52 Apfel oder 1,75 Mensch, obwohl sie mathematisch durchaus dargestellt werden.

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 28.12.2006 12:26.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Hallo Jocelyne!

Ich finde auch, dass "0,52 Apfel" eine sinnlose Aussage ist. Auch negative Zahlen haben in der Realität oft nichts zu suchen, z.B.

-----------------
In einem Bus befinden sich 5 Fahrgäste. An der nächsten Haltestelle steigen 7 Fahrgäste aus. Wiederum an der nächsten Haltestelle steigen 2 Fahrgäste ein - jetzt ist der Bus bis auf den Fahrer leer.
-----------------

Mathematisch gibt es hier überhaupt kein Problem. In der Realität doch - denn es können ja nicht mehr Personen aussteigen als überhaupt vorhanden sind. Es gibt ja auch keine "negativen Personen" (zumindest nicht in dieser Definition ). Es hat ja auch eine ganze Zeit gedauert bis die Mathematiker folgende Dinge benutzt haben:

Die Null,
negative Zahlen,
gebrochene Zahlen (z.B. 1/2),
irrationale Zahlen (z.B. PI),
komplexe Zahlen (z.B. 5 + 3I).

Für mich gibt es zwei Möglichkeiten Mathematik zu betreiben:

a) Mathematik zum Selbstzweck
Man kann z.B. bereits mit den ganzen Zahlen Bücherweise tiefsinnige Dinge beweisen, usw. => Zahlentheorie, ...
Da kommen reale Dinge sowieso nicht vor, sondern nur mathematische Objekte. Daher hat man hier wenig Probleme aber auch keine Anwendung.

b) Mathematik in der Anwendung
Man möchte ein konkretes Problem lösen und nutzt die Mathematik. Dabei muss man aber immer darüber nachdenken was man tut und sich in jedem Rechenschritt selbst fragen ob das noch Sinn macht. Oft werden dabei auch abstrakte Methoden benutzt, die in a) entwickelt worden sind.
Falls man aber bei der Rechnung etwas sinnloses getan hat (wie in obigem Beispiel mit dem Bus) bekommt man auch ein sinnfreies Resultat.

Die reine Mathematik hat also meiner Meinung nach keinen Anspruch darauf, die Realität wiederzugeben (nicht mehr). Sie ist per Definition "richtig", denn sie basiert auf Axiomen die als "richtig" definiert wurden und es gibt keinen Fehler in den aus den Axiomen folgenden Sätzen, denn diese Sätze werden streng bewiesen.

Ich las mal ein Zitat: "Die Mathematik ist dazu da unsere Gedanken zu ordnen." Ich denke das trifft es ganz gut.

Viele Grüße,
Sammy

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The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 28.12.2006 11:23 Uhr: Hier möchte ich auch meine eigenen Überlegungen über das Problem des natürlichen Zahlenstrahls mitteilen, die ich schon in einem anderen Thread dargelegt habe...

Die Menge der natürlichen Zahlen umfasst weder die Null, noch negative Zahlen oder reele Zahlen wie 0,52. Von daher sehe ich kein Problem was die natürlichen Zahlen angeht.

Für manche Menschen ist die Mathematik weder Wissenschaft noch Sprache sondern viel mehr ein Werkzeug.
Werkzeuge muss man manchmal anpassen um mit ihnen arbeiten zu können. Deswegen gibt es nicht nur die natürlichen Zahlen sondern auch andere Zahlenmengen.
Was passiert denn wenn Sie Ihren Apfel teilen. Haben sie dann zweimal einen Apfel?

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

H.Latz schrieb am 28.12.2006 18:41 Uhr: Für manche Menschen ist die Mathematik weder Wissenschaft noch Sprache sondern viel mehr ein Werkzeug.

Dass die Mathematik ein Werkzeug ist möchte ich nicht bestreiten, eine natürliche Sprache ist aber auch ein Werkzeug.

Ich habe eher den Schwerpunkt meiner zur Diskussion gestellten Vorstellung des Wesens der Mathematik als Sprache auf die Beschreibung der Realität und Verarbeitung von Informationen aus der Realität gelegt, was zum Beispiel sammylight weiter oben m.E. ganz gut dargestellt hat:

Zitat:

sammylight schrieb am 28.12.2006 14:55 Uhr: Ich finde auch, dass "0,52 Apfel" eine sinnlose Aussage ist. Auch negative Zahlen haben in der Realität oft nichts zu suchen, z.B. ----------------- In einem Bus befinden sich 5 Fahrgäste. An der nächsten Haltestelle steigen 7 Fahrgäste aus. Wiederum an der nächsten Haltestelle steigen 2 Fahrgäste ein - jetzt ist der Bus bis auf den Fahrer leer. ----------------- Mathematisch gibt es hier überhaupt kein Problem. In der Realität doch - denn es können ja nicht mehr Personen aussteigen als überhaupt vorhanden sind. Es gibt ja auch keine "negativen Personen" (zumindest nicht in dieser Definition ). […] Für mich gibt es zwei Möglichkeiten Mathematik zu betreiben: a) Mathematik zum Selbstzweck Man kann z.B. bereits mit den ganzen Zahlen Bücherweise tiefsinnige Dinge beweisen, usw. => Zahlentheorie, ... Da kommen reale Dinge sowieso nicht vor, sondern nur mathematische Objekte. Daher hat man hier wenig Probleme aber auch keine Anwendung. b) Mathematik in der Anwendung Man möchte ein konkretes Problem lösen und nutzt die Mathematik. Dabei muss man aber immer darüber nachdenken was man tut und sich in jedem Rechenschritt selbst fragen ob das noch Sinn macht. Oft werden dabei auch abstrakte Methoden benutzt, die in a) entwickelt worden sind. Falls man aber bei der Rechnung etwas sinnloses getan hat (wie in obigem Beispiel mit dem Bus) bekommt man auch ein sinnfreies Resultat.

Mich persönlich interessiert hier gar nicht die „Mathematik zum Selbstzweck“, das ist wohl eine Spielerei, womit die Profi-Mathematiker sich gerne beschäftigen, und das möchte ich den natürlich auch gerne gönnen , sondern eben die Anwendung der Mathematik als Werkzeug zur Erkenntnis der Realität. Und da liegt m.E. eine Gefahr bei der mathematischen Sprache, die in einer natürlichen Sprache weniger besteht und bei dem Beispiel von sammylight gut erkennbar ist: Man kann z.B. mathematisch darstellen, dass in einen Bus mehr Passagiere aussteigen können, als Passagiere eingestiegen sind, wobei die Realität dabei … auf der Strecke bleibt.

Diese Gefahr der Produzierung von Unsinn mit der Mathematik ist zwar bei diesem einfachen Beispiel schnell erkennbar, sie besteht aber akut bei komplexeren und verstrickteren mathematischen Verarbeitungen. Eine natürliche Sprache ist dabei weniger anfällig: Jeder versteht sprachlich unmittelbar und auf Anhieb, dass aus keinem Bus mehr Passagiere aussteigen können, als Passagiere eingestiegen sind, oder auch, dass man erst einmal in einen Bus einsteigen muß, bevor man aus einem Bus aussteigen kann, oder?

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 28.12.2006 22:01.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Ich verstehe was Sie sagen wollen und ich kann Ihre Aussage zur Problematik bei der Darstellung der Realität durch Mathematik im Grunde zustimmen.

Mich würde dabei allerdings interessieren, welches Werkzeug oder welche Sprache Sie zur Verarbeitung von Informationen aus der Realität alternativ verwenden wollen?

Selbst bei dem Beispiel mit dem Bus benutzen Sie Mathematik denn gerade die Mathematik bringt doch die Busgeschichte zu einem Wiederspruch. Sie können in Ihrer natürlichen Sprache vieles schreiben oder beschreiben aber wie wollen Sie den Wiederspruch bei der Busgeschichte ohne Mathematik aufzeigen? Das dürfte schwer werden.

Versuchen Sie mal die Geschichte rein mathematisch zu erzählen. Benutzen Sie dabei die natürlichen Zahlen. Sie werden schnell merken, dass Sie keine Chance haben die Geschichte zu erzählen weil es die Mathematik nicht zulässt. 5-7 funktioniert nicht. An dieser Stelle wäre die Geschichte zu Ende. In Ihrer natürlichen Sprache können Sie die Geschichte beliebig fortsetzen und auch -0,52 Menschen einsteigen lassen. Mathematisch funktioniert das nicht.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

H.Latz schrieb am 29.12.2006 01:15 Uhr: Ich verstehe was Sie sagen wollen und ich kann Ihre Aussage zur Problematik bei der Darstellung der Realität durch Mathematik im Grunde zustimmen. Mich würde dabei allerdings interessieren, welches Werkzeug oder welche Sprache Sie zur Verarbeitung von Informationen aus der Realität alternativ verwenden wollen?

Wir haben keine andere Alternative, um Informationen aus der Realität zu verarbeiten, als die Sprachen, ob natürliche Sprachen oder Mathematik.

Zitat:

H.Latz schrieb am 29.12.2006 01:15 Uhr: Selbst bei dem Beispiel mit dem Bus benutzen Sie Mathematik denn gerade die Mathematik bringt doch die Busgeschichte zu einem Wiederspruch. Sie können in Ihrer natürlichen Sprache vieles schreiben oder beschreiben aber wie wollen Sie den Wiederspruch bei der Busgeschichte ohne Mathematik aufzeigen? Das dürfte schwer werden. Versuchen Sie mal die Geschichte rein mathematisch zu erzählen. Benutzen Sie dabei die natürlichen Zahlen. Sie werden schnell merken, dass Sie keine Chance haben die Geschichte zu erzählen weil es die Mathematik nicht zulässt. 5-7 funktioniert nicht. An dieser Stelle wäre die Geschichte zu Ende. In Ihrer natürlichen Sprache können Sie die Geschichte beliebig fortsetzen und auch -0,52 Menschen einsteigen lassen. Mathematisch funktioniert das nicht.

Natürlich lässt die Mathematik 5-7 zu, genauso wie 0,52 Menschen. Das hat sammylight ganz gut weiter oben mit der Bus-Geschichte dargestellt (Negative Zahlen und Unterteilung von unteilbaren Objekten sind in der Mathematik Gang und Gebe).

Man kann auch in jeder beliebigen natürlichen Sprache Unsinn wie in der Bus-Geschichte produzieren, nicht nur in der mathematischen Sprache. Bloß es fällt in einer natürlichen Sprache sofort auf. Die Bus-Geschichte könnte man also genauso in allen Sprachen erzählen, und jeder würde sofort erkennen, schon bei den ersten Sätzen, dass es Unsinn ist und nur zum Spiel und zur Unterhaltung gedacht ist.

Es gibt ja in jeder natürlichen Sprache auch „Sprachkünstler“, bestimmt gibt es auch Deutschen, die surrealistische, unsinnige, fantastische, geträumte, irreale Geschichte erzählen oder Gedichte schreiben können, meistens als humoristische Unterhaltung, wobei der „Unsinn“ gewollt durch verschiedene Techniken produziert wird: Wortspielerein, Worterfindungen, Undeutlichkeit der Definitionen, Vieldeutigkeit der Aussagen, gewollte Vernebelungen, usw.

Ich möchte in diesem Zusammenhang hier ein bekanntes „Sprachkunststück“ stellen, das Teilnehmer und auch Dr. Heinz Enders, den ich in der Seite „Sprachforscher“ meiner Homepage vorgestellt habe, auch in eine Diskussion gestellt haben:

Die Wahrheit in der Wissenschaft
https://www.wissenschaft-online.de/sixcms/detail.php?id=583558

Es handelt sich um eine Nachdichtung auf Deutsch von Robert Scott des Gedichts „Jabberwocky“ von Lewis Caroll (aus „Alice hinter den Spiegeln“)


Der Jammerwoch

Es brillig war. Die schlichte Toven
Wirrten und wimmelten in Waben;
Und aller-mümsige Burggoven
Die mohmen Räth' ausgraben.

»Bewahre doch vor Jammerwoch!
Die Zähne knirschen, Krallen kratzen!
Bewahr' vor Jubjub-Vogel, vor
Frumiösen Banderschntzchen!«

Er griff sein vorpals Schwertchen zu,
Er suchte lang das manchsan' Ding;
Dann, stehend unterm Tumtum Baum,
Er an-zu-denken-fing.

Als stand er tief in Andacht auf,
Des Jammerwochen's Augen-feuer
Durch tulgen Wald mit Wiffek kam
Ein burbelnd Ungeheuer!

Eins, Zwei! Eins, Zwei! Und durch und durch
Sein vorpals Schwert zerschnifer-schnück,
Da blieb es todt! Er, Kopf in Hand,
Geläumfig zog zurück.

»Und schlugst Du ja den Jammerwoch?
Umarme mich, mien Böhm'sches Kind!
O Freuden-Tag! O Halloo-Schlag!«
Er schortelt froh-gesinnt.

Es brillig war. Die schlichte Toven
Wirrten und wimmelten in Waben;
Und aller-mümsige Burggoven
Die mohmen Räth' ausgraben.



Oder eine andere Nachdichtung dieses Gedichts auf Deutsch von Christian Enzensberger:


Der Zipferlake

Verdaustig wars, und glasse Wieben
Rotterten gorkicht im Gemank ;
Gar elump war der Pluckerwank,
Und die gabben Schweisel frieben.

»Hab acht vorm Zipferlak, mein Kind!
Sein Maul ist beiß, sein Griff ist bohr!
Vorm Fliegelflagel sieh dich vor,
Dem mampfen Schnatterrind!«

Er zückt' sein scharfgebiftes Schwert,
Den Feind zu fetzen ohne Saum,
Und lehnt' sich an den Dudelbaum
Und stand da lang in sich gekehrt,

In sich gekeimt, so stand er hier:
Da kam verschnoff der Zipferlak
Mit Flammenlefze angewackt
Und gurgt' in seiner Gier.

Mit eins! und zwei! und bis aufs Bein!
Die biffe Klinge ritscheropfl
Trennt er vom Hals den toten Kopf,
Und wichernd sprengt er heim.

»Vom Zipferlak hast uns befreit?
Komm an mein Herz, aromer Sohn!
O blumer Tag! O schlusse Fron!
« So kröpfte er vor Freud.

Verdaustig wars, und glasse Wieben
rotterten gorkicht im Gemank;
Gar elump war der Pluckerwank,
Und die gabben Schweisel trieben.

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 29.12.2006 10:59.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Versuchen Sie mal die Geschichte rein mathematisch zu erzählen. Benutzen Sie dabei die natürlichen Zahlen. Sie werden schnell merken, dass Sie keine Chance haben die Geschichte zu erzählen weil es die Mathematik nicht zulässt. 5-7 funktioniert nicht.

O.k. ich versuche es in zwei Versionen.

Die Anzahl k der Fahrgäste ist Element der "natürlichen Zahlen und Null", also k = 0,1,2,3,4,... Ich bezeichne diese Menge mit N0.

Version 1:
------------

Zitat:

In einem Bus befinden sich 5 Fahrgäste.

k = 5

Zitat:

An der nächsten Haltestelle steigen 7 Fahrgäste aus. Wiederum an der nächsten Haltestelle steigen 2 Fahrgäste ein

k' = k-7+2 = k+2-7

Zitat:

jetzt ist der Bus bis auf den Fahrer leer

k' = k+2-7 = 5+2-7 = 0
Hier gibt es mathematisch kein Problem.

Version 2:
------------

Zitat:

In einem Bus befinden sich 5 Fahrgäste.

k = 5

Zitat:

An der nächsten Haltestelle steigen 7 Fahrgäste aus.

k' = k-7 = -2 NICHT MÖGLICH da k' nicht Element von N0
--------------------------------------------------------------------

Je nachdem wie die Realität in die Mathematik abgebildet wird, liefert uns hier die Mathematik den Fehler oder auch nicht.

Zitat:

Was passiert denn wenn Sie Ihren Apfel teilen. Haben sie dann zweimal einen Apfel?

Ich würde sagen, wir haben dann überhaupt keinen Apfel mehr, sondern nur noch zwei Apfelteile.
In Wahrheit also 1 / 2 = 0, eine mathematisch sehr problematische Aussage.
Das Problem ist doch, dass man erstmal mathematisch definieren muss, was ein Apfel überhaupt ist. Das stelle ich mir alles andere als einfach vor.

Die Mathematik nimmt uns das Denken nicht, denke ich

Z.B. haben wir ein Rechteck, deren Seitem a und b die Längen genau so haben, dass 4 a = 6 b gilt.
Daraus mache ich jetzt

4 a = 6 b
14 a - 10 a = 21 b - 15 b
15 b - 10 a = 21 b - 14 a
5(3b - 2a) = 7(3b - 2a)
5 = 7

Aus 5 = 7 kann man dann alles beliebige Beweisen. Natürlich gibt es hier auch einen Fehler, aber man muss sich halt immer in jedem Rechenschritt fragen ob es Sinn macht was man tut.

Gruß,
Sammy

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J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

"0,52 Apfel" ist einfach etwas mehr als ein halber Apfel. Ich sehe das Problem dabei nicht ganz.

@Jocelyne Lopez:

Dieses Zitat fiel mir beim Durchlesen des Threads ins Auge:

Zitat:

„ ... Sie stellen es sich so vor, dass ich mit stiller Befriedigung auf ein Lebenswerk zurückschaue. Aber es ist ganz anders von der Nähe gesehen. Da ist kein einziger Begriff, von dem ich überzeugt wäre, dass er standhalten wird, und ich fühle mich unsicher, ob ich überhaupt auf dem rechten Wege bin....“

Bist du dir sicher, dass sich Einstein hier auf die Relativitätstheorie bezieht? Wäre es nicht wahrscheinlicher, dass er sich da auf seine vergebliche Arbeit an einer allgemeinen Feldtheorie bezieht?

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Jürgen Knall schrieb am 29.12.2006 16:41 Uhr: "0,52 Apfel" ist einfach etwas mehr als ein halber Apfel. Ich sehe das Problem dabei nicht ganz.

Dagegen sehen andere Teilnehmer das Problem sehr wohl.

Zitat:

Jürgen Knall schrieb am 29.12.2006 16:41 Uhr: @Jocelyne Lopez: Dieses Zitat fiel mir beim Durchlesen des Threads ins Auge: Zitat: „ ... Sie stellen es sich so vor, dass ich mit stiller Befriedigung auf ein Lebenswerk zurückschaue. Aber es ist ganz anders von der Nähe gesehen. Da ist kein einziger Begriff, von dem ich überzeugt wäre, dass er standhalten wird, und ich fühle mich unsicher, ob ich überhaupt auf dem rechten Wege bin....“ Bist du dir sicher, dass sich Einstein hier auf die Relativitätstheorie bezieht? Wäre es nicht wahrscheinlicher, dass er sich da auf seine vergebliche Arbeit an einer allgemeinen Feldtheorie bezieht?

Das weiß ich nicht, worauf sich Einstein in diesem Brief an einen Freund bezogen hat, das ist nun mal ein privater Brief gewesen und keine wissenschaftliche Abhandlung (den Brief hat er übrigens 1949 geschrieben und nicht 1956 wie ich es aus Versehen weiter oben angegeben habe). Ich kenne nur dieses Zitat aus diesem Brief, aber es ist lange genug um einen Sinn in diesem Kontext zu machen. Wenn Einstein hier 1949 von seinem „Lebenswerk“ spricht, kann man durchhaus annehmen, dass er dabei die Relativitätstheorie meint. Und wenn er von „stiller Befriedigung“ spricht, die alle Andere sich bei ihm beim Zurückschauen auf sein Lebenwerk "vorstellen", kann man auch durchaus annehmen, dass er dabei seine erfolgreiche Relativitätstheorie meint, und nicht gerade seine gescheiterte Feldtheorie, oder? Das würde im Kontext dieser Aussagen nämlich überhaupt nicht passen.

Dass Einstein am Ende seines Lebens jedoch über die Aussagekraft und die richtige Anwendung der Begriffe, die in der Physik verwendet werden gegrübelt und gewarnt hat kann man auch aus seinem weiter oben zitierten Vorwort zu einem Buch von Max Jammer 1953 erkennen, das wiederum eine klare Sprache spricht, zum Beispiel:

Zitat:

Um die Wichtigkeit solcher Untersuchungen wie die hier vorliegende von Dr.Jammer wirklich voll zu würdigen, mag man sich Folgendes vor Augen halten. Die Augen des Wissenschaftlers sind auf die der Beobachtung zugänglichen Phänomene und auf deren begriffliche Erfassung gerichtet. […] Er verwendet dieses begriffliche Material oder - besser gesagt - diese begrifflichen Werkzeuge wie etwas unverrückbar und selbstverständlich Gegebenes, an dessen objektivem Wahrheitswert er meist gar nicht oder doch nicht im Ernst zweifelt. […] Und doch ist es im Interesse der Wissenschaft nötig, daß immer wieder an diesen fundamentalen Begriffen Kritik geübt wird, damit wir nicht unwissentlich von ihnen beherrscht werden. Dies wird besonders deutlich in Situationen der Entwicklung, in denen der konsequente Gebrauch der überlieferten fundamentalen Begriffe uns zu schwer auflösbaren Paradoxien führt."

Aber vielleicht findest Du im Kontext dieses Threads ein anderes Zitat Einsteins eindeutiger:

„Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr“.

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 29.12.2006 19:16.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Hallo sammylight,

Version 2 finde ich gut. Das ist im Prinzip das was ich sagen wollte.

Version 1 ist meiner Meinung nach nicht korrekt.
Das Assoziativgesetz ist an der Stelle natürlich in Ordnung aber du beeinflusst dadurch ja auch den Verlauf der Geschichte entscheidend.
Aus 5-7+2 wird 5+2-7. Übertragen auf die Geschichte bedeutet das:
Fünf Leute sind im Bus. Zwei Leute steigen ein. Danach steigen sieben Leute aus. Die Geschichte ist in Ordnung und es gibt keinen Wiederspruch mehr. Das ist aber eine andere Geschichte als die Ursprüngliche.

Der Wiederspruch in der ursprünglichen Geschichte wird nicht durch die Mathematik erzeugt. Ganz im Gegenteil. Mit der Mathematik als Werkzeug kann man den Wiederspruch aufzeigen und auch beweisen.

Bei dem Beispiel mit dem Rechteck verhält es sich doch ganz ähnlich. Aus dem Beispiel lernt man doch nur, dass es nicht sinnvoll ist falsche Mathematik anzuwenden.
Egal welche Sprache man benutzt. Wenn man verstanden werden will dann muss man die Sprache richtig anwenden. Das ist nicht nur bei der Mathematik so.

Was "0,52 Apfel" betrifft, da hänge ich auch noch ein wenig. Was ist daran so problematisch?

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 28.12.2006 11:23 Uhr: - Negativzahlen sind künstlich, sie existieren nicht in der Realität.

Wirklich?
Sie haben doch lange genug bei einer Bank gearbeitet um zu Wissen, daß die Bank Ihr Gehalt nur bezahlen konnte, weil viele Kunden Negativzahlen bei dieser Bank hatten.

Mit freundlichen Grüßen
Arthur Schmitt

__________________
Es ist schwieriger, eine vorgefaßte Meinung zu zertrümmern als ein Atom. (Albert Einstein)

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

H.Latz schrieb am 29.12.2006 18:23 Uhr: Hallo sammylight, Version 2 finde ich gut. Das ist im Prinzip das was ich sagen wollte. Version 1 ist meiner Meinung nach nicht korrekt. Das Assoziativgesetz ist an der Stelle natürlich in Ordnung aber du beeinflusst dadurch ja auch den Verlauf der Geschichte entscheidend. Aus 5-7+2 wird 5+2-7. Übertragen auf die Geschichte bedeutet das: Fünf Leute sind im Bus. Zwei Leute steigen ein. Danach steigen sieben Leute aus. Die Geschichte ist in Ordnung und es gibt keinen Wiederspruch mehr. Das ist aber eine andere Geschichte als die Ursprüngliche. Der Wiederspruch in der ursprünglichen Geschichte wird nicht durch die Mathematik erzeugt. Ganz im Gegenteil. Mit der Mathematik als Werkzeug kann man den Wiederspruch aufzeigen und auch beweisen.

Natürlich wird der Widerspruch in der ursprünglichen Geschichte nicht durch die Mathematik erzeugt, und auch nicht durch die deutsche Sprache:

Sowohl der deutsche Satz: „An der nächsten Haltestelle steigen 7 Fahrgäste aus.“,
als auch der mathematische Satz: k-7
sind in den jeweiligen Sprachen zugelassen, gültig und verständlich.

Der Widerspruch entsteht also nicht durch irgendeine Sprache, sondern einzig und allein durch einen Logikbruch, wobei alle Sprachen, die Mathematik natürlich auch, gleichermaßen der Logik untergeordnet sind: Es können keine 7 Passagiere aus einem Bus aussteigen, wo sich nur 5 Passagiere aufhalten.

Bei „Erzählung“ der Geschichte in der deutschen Sprache ist die Geschichte schon bei diesem Logikbruch zu Ende, der keine weitere „Verarbeitung“ von Informationen erlaubt. Der Fehler wird dort sofort entdeckt, es geht hier mit irgendwelchen Fortsetzungen oder Folgerungen nicht mehr weiter.

Bei „Erzählung“ der Geschichte in der mathematischen Sprache ist dagegen eine mathematisch korrekte „Weiterverarbeitung“ möglich, wie sammylight es demonstriert hat, da negative Zahlen in der Mathematik grundsätzlich zulässig sind (obwohl sie in der Natur nirgendwo vorkommen können), die auch ein mathematisch korrektes Ergebnis liefert. Das ist die Version 1 von sammylight. Da besteht eben dabei eine große Gefahr, dass dieser Fehler nicht entdeckt und bei weiteren mathematischen Verarbeitungen verschlept wird.

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Hallo H.Latz!

Zitat:

Aus 5-7+2 wird 5+2-7. Übertragen auf die Geschichte bedeutet das: Fünf Leute sind im Bus. Zwei Leute steigen ein. Danach steigen sieben Leute aus.

Eben nicht! Mathematisch ist 5-7+2 = 5+2-7, die Reihenfolge der Summanden gibt keine zeitliche Reihenfolge an. Ich denke, der Fehler ist es, das Einsteigen und Aussteigen von Personen in Version 1 nicht getrennt behandelt wurden. Natürlich war das ein Fehler wenn man die Unmöglichkeit des Prozesses beweisen will. Mathematisch ist an Version 1 allerdings nichts zu beanstanden, es wird nur eben nicht mehr die Realität wiedergegeben, denn in der Realität ist es eben nicht unwichtig ob erst 2 Personen einsteigen und dann 7 aussteigen oder umgekehrt.
Es kann durchaus Beispiele geben, wo solche Fehler nicht so offensichtlich sind.

Letztlich glaube ich, dass wir eigentlich nicht wirklich unterschiedlicher Meinung sind.

Zitat:

Zitat: Zitat: Jürgen Knall schrieb am 29.12.2006 16:41 Uhr: "0,52 Apfel" ist einfach etwas mehr als ein halber Apfel. Ich sehe das Problem dabei nicht ganz. Jocelyne: Dagegen sehen andere Teilnehmer das Problem sehr wohl.

Ich sehe eins. "Apfel" ist ein abstrakter Begriff, der die Zugehörigkeit zu eine Menge gleichartiger (aber nicht identischer) Objekte beschreibt ("Menge aller Äpfel"). Die Menge bedarf natürlich einer Definition, aber ich will jetzt hier nicht übertreiben - nehmen wir die intuitive Definition.
Damit ist "Apfel" als Begriff ein Atom, also unteilbar. "5 Apfel" bedeutet: 5 Objekte die zur Menge "Menge aller Äpfel" gehören.
"0,52 Apfel" macht aus meiner Sicht wegen der Unteilbarkeit keinen Sinn.

Es gibt im Alltag ein schönes Beispiel: Man hört gelegentlich im Fersehen/Radio etwas wie
"Im Durchschnitt hat in Deutschland jedes Ehepaar 1,35 Kinder."

In Wahrheit gibt es kein einziges Ehepaar, auf das das zutrifft.

Man kann sagen: Es gibt x Ehepaare und y Kinder. Man kann auch eine Verteilungsfunktion angeben, z.B. x1 mal 0 Kinder, x2 mal 1 Kind, ...
Obiger Satz hat aber genauso keinen Sinn, wie "0,52 Apfel".

Gruß,
Sammy

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Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Arthur Schmitt schrieb am 29.12.2006 20:34 Uhr: Zitat: Jocelyne Lopez schrieb am 28.12.2006 11:23 Uhr: - Negativzahlen sind künstlich, sie existieren nicht in der Realität. Wirklich? Sie haben doch lange genug bei einer Bank gearbeitet um zu Wissen, daß die Bank Ihr Gehalt nur bezahlen konnte, weil viele Kunden Negativzahlen bei dieser Bank hatten. Mit freundlichen Grüßen Arthur Schmitt

Ich wüßte nicht, dass ein Buchhaltungsystem (= mathematische Verarbeitung von Informationen), wobei die mathematische Verarbeitung grundsätzlich negative Zahlen erlaubt (siehe oben), gleichzustellen sei mit der Realität, wo "negative Gegenstände" nirgendwo vorkommen können. Ich habe auch noch nie ein "Minus-Euroschein" gesehen, genauso wenig allerdings wie Minus-Fahrgäste, Sie?

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 29.12.2006 22:00.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Jocelyne Lopez schrieb am 29.12.2006 20:50 Uhr: Ich wüßte nicht, dass ein Buchhaltungsystem (= mathematische Verarbeitung von Informationen), wobei die mathematische Verarbeitung grundsätzlich negative Zahlen erlaubt (siehe oben), gleichzustellen sei mit der Realität, wo "negative Gegenstände" nirgendwo vorkommen können. Ich habe auch noch nie ein "Minus-Euroschein" gesehen, genauso wenig allerdings wie Minus-Fahrgäste, Sie?

Nein, aber einen Kontokorrentkredit bei der Bank und der ist nun mal aus Sicht der Bankkunden negativ.

Mit freundlichen Grüßen
Arthur Schmitt

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Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

sammylight schrieb am 29.12.2006 20:46 Uhr: Eben nicht! Mathematisch ist 5-7+2 = 5+2-7, die Reihenfolge der Summanden gibt keine zeitliche Reihenfolge an. Ich denke, der Fehler ist es, das Einsteigen und Aussteigen von Personen in Version 1 nicht getrennt behandelt wurden. Natürlich war das ein Fehler wenn man die Unmöglichkeit des Prozesses beweisen will. Mathematisch ist an Version 1 allerdings nichts zu beanstanden, es wird nur eben nicht mehr die Realität wiedergegeben, denn in der Realität ist es eben nicht unwichtig ob erst 2 Personen einsteigen und dann 7 aussteigen oder umgekehrt. Es kann durchaus Beispiele geben, wo solche Fehler nicht so offensichtlich.

Dies halte ich für ein sehr wichtiges und treffendes Argument.

In der Tat gibt die Reihenfolge der Summanden keine zeitliche Reihenfolge an. Das ist hier ein Schwachpunkt der Mathematik bei der Darstellung der Realität, der bei diesem Beispiel sehr gut erkennbar ist: Die korrekte mathematische Verarbeitung liefert Unsinn, weil die richtige Reihenfolge der Ereignisse nicht berücksichtigt wird und eine absurde (implizite) Annahme voraussetzt, d.h. zwei Fahrgäste steigen bei der 1. Bushaltestelle aus, bevor sie bei der 2. Bushaltestelle eingestiegen sind... Die Zeit ist für sie verkehrt herum gelaufen. Die Komponente „Zeit“ wird hier bei der mathematischen Verarbeitung völlig ignoriert bzw. völlig willkürlich verarbeitet, was zu einem unauflösbaren Paradoxon führt.

Nebenbei: Ich muß auch an ein berühmtes Paradoxon dabei denken (nicht aus der Mathematik), das „Kreter-Paradoxon“, wobei eine Teilnehmerin in einem Forum eine m.E. sehr gute Auflösung beim Hinzuziehen der Dimension „Zeit“ vorgeschlagen hat, siehe hier in diesem Forum der Thread:

Ein Paradoxon existiert immer nur fiktiv
http://www.ekkehard-friebe.de/friebeforum/thread.php?threadid=44#p37646678823533211

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Dieser Beitrag wurde schon 1 mal editiert, zum letzten mal von Jocelyne Lopez am 30.12.2006 00:01.

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

Nebenbei: Ich muß auch an ein berühmtes Paradoxon dabei denken (nicht aus der Mathematik), das „Kreter-Paradoxon“, wobei eine Teilnehmerin in einem Forum eine m.E. sehr gute Auflösung beim Hinzuziehen der Dimension „Zeit“ vorgeschlagen hat, siehe hier in diesem Forum der Thread:

Ein interessantes Paradoxon ist das, welches ich auch noch in der "verschärften" Version kenne:

"Dieser Satz behauptet etwas falsches."

Ich habe mir auch lange den Kopf über solche Paradoxen zerbrochen und bin nie wirklich auf einen grünen Zweig gekommen. Mein letzter Stand war es, diesen Satz (so wie auch das Kreter Paradoxon) aufzufassen als:

"Aus der Aussage A folgt: Die Aussage A ist falsch. "

oder in mathematischen Symbolen:

"A => NICHT A"

Diese Aussage macht für mich keinen Sinn mehr, daher habe ich aufgehört mich damit zu beschäftigen.


Zum Thema Zeit in der Mathematik, das J. Lopez hier anspricht, kenne ich auch ein schönes "Paradoxon":
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Eine Reisegruppe ist von Montag bis Sonntag in einem Hotel. Der Reiseleiter kündigt am Montag Morgen folgendes an:

"Wir werden eine Überraschungs - Nachtwanderung in dieser Woche für alle interessierten anbieten. Die findet aber nur statt, wenn ihr am Morgen des entsprechenden Tages noch nicht wisst, dass sie am Abend stattfinden wird. Es muss eine Überraschung sein."

Daraufhin wird eingewendet: "Sie kann dann gar nicht stattfinden, denn:
Wenn die Wanderung bis Samstag nicht war, muss sie am Sonntag (dem letzten Tag des Aufenthaltes) sein. Wir wüssten dann aber am Sonntag Morgen bereits, dass sie am Sonntag Abend sein muss. Daher kann die Wanderung nicht Sonntag Abend sein. Damit ist Samstag der letzte mögliche Tag. Aber auch am Samstag kann die Wanderung nicht stattfinden, denn da Sonntag ja nicht geht ist Samstag der letzte mögliche Zeitpunkt. Dann wüssten wir aber bereits am Samstagmorgen das es am Samstagabend sein muss. Also kann die Wanderung auch am Samstag nicht sein. Somit kommt mit den gleichen Argumenten auch Freitag, Donnerstag, usw. nicht in Betracht. Die einzige Möglichkeit wäre also heute Abend, aber das weiss ich ja jetzt bereits."
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Die mathematischen Gesetze der Logik scheinen hier zu einem unsinnigen Resultat zu führen, oder?

Viele Grüße,
Sammy

__________________
The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

sammylight schrieb am 30.12.2006 14:54 Uhr: Ein interessantes Paradoxon ist das, welches ich auch noch in der "verschärften" Version kenne: "Dieser Satz behauptet etwas falsches." Ich habe mir auch lange den Kopf über solche Paradoxen zerbrochen und bin nie wirklich auf einen grünen Zweig gekommen. Mein letzter Stand war es, diesen Satz (so wie auch das Kreter Paradoxon) aufzufassen als: "Aus der Aussage A folgt: Die Aussage A ist falsch. " oder in mathematischen Symbolen: "A => NICHT A" Diese Aussage macht für mich keinen Sinn mehr, daher habe ich aufgehört mich damit zu beschäftigen.

Ja, das finde ich auch, das ist wohl die beste Lösung bei solchen Paradoxien, sich mit deren Lösung nicht zu beschäftigen.

Sie haben auch gar keinen Bezug zur Realität, sie liefern gar keine überprüfbare Informationen und sind reine Behauptungen, die grundsätzlich gar keinen Sinn ergeben wollen. Sie dienen wohl nur zur Unterhaltung. Man könnte z.B. genau so gut solche Paraodoxien mit beliebigen unsinnige Behauptungen bilden, z. B.: groß ist klein, rot ist grün oder so was Ähnliches.

Zitat:

sammylight schrieb am 30.12.2006 14:54 Uhr: Zum Thema Zeit in der Mathematik, das J. Lopez hier anspricht, kenne ich auch ein schönes "Paradoxon": -------------------------------------------------------------- Eine Reisegruppe ist von Montag bis Sonntag in einem Hotel. Der Reiseleiter kündigt am Montag Morgen folgendes an:

hmm... darüber muß ich mich erst einmal ein bisschen den Kopf zerbrechen, um den Logikfehler zu finden.

Viele Grüße
Jocelyne Lopez

Re: Ist die Mathematik eine Wissenschaft, oder nur eine Sprache?

Zitat:

hmm... darüber muß ich mich erst einmal ein bisschen den Kopf zerbrechen, um den Logikfehler zu finden.

Da würde ich mich aber sehr dafür interessieren! Ich bin mir immer noch nicht so ganz im klaren.

Viele Grüße,
Sammy

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The fact that one theory is consistent and the other is not does not neccessarily mean that the former is more accurate than the latter.

J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics